Leetcode 面试题16.03 - 交点

Leetcode 面试题16.03 - 交点

给定两条线段（表示为起点start = {X1, Y1}和终点end = {X2, Y2}），如果它们有交点，请计算其交点，没有交点则返回空值。

要求浮点型误差不超过10^-6。若有多个交点（线段重叠）则返回 X 值最小的点，X 坐标相同则返回 Y 值最小的点。

示例：输入：line1 = {0, 0}, {1, 0} line2 = {1, 1}, {0, -1}
　　　输出： {0.5, 0}

首先，确定思路：

Created with Raphaël 2.2.0 输入 判断是否平行 判断是否重合 取最小重合点 退出 计算直线交点 判断交点是否在线段内 取交点 yes no yes no yes no

1 平面几何法

学过初中数学的人都会认为：啊，简单！但很快你就会发现并不是那么回事，需要考虑的情况很多。

从数学角度，我们可以比较轻松的得到上述的流程图，但是从代码实现的角度我们必须要考虑到几个重要的问题：

1.1 如何表示点在直线上

数学理论知识告诉我们，一条直线可以表示为：
$$y=kx+b或ax+by+c=0$$
但是，明显我们不知道方程中的参数值，我们已知的信息只有直线上两个点的坐标。幸运的是，数学老师教过 两点确定一条直线，并且考虑到直线有垂直于x轴和垂直于y轴两种特殊情况，用 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 表示一条直线上的两点，则直线可以表示为：$$x=x_1+t(x_2-x_1),y=y_1+t(y2-y1)$$

1.2 如何计算直线交点

仅考虑两直线相交的情况，用 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ 表示第一条直线上的两点，$(x_3,y_3),(x_4,y_4)$ 表示第二条直线上的两点。则有：

$$x=x_1+t_1(x_2-x_1),y=y_1+t_1(y2-y1)$$

$$x=x_3+t_2(x_4-x_3),y=y_3+t_2(y4-y3)$$

考虑到不平行直线有且只有唯一交点，因此联立方程组必能得到 $t_1,t_2$ 的唯一解

$$t_1=\frac{(x_3-x_1)(y_4-y_3)-(y_3-y_1)(x_4-x_3)}{(x_2-x_1)(y_4-y_3)-(x_4-x_3)(y_2-y_1)}$$

$$t_2=\frac{(x_1-x_3)(y_2-y_1)-(y_1-y_3)(x_2-x_1)}{(x_2-x_1)(y_4-y_3)-(x_4-x_3)(y_2-y_1)}$$

1.3 如何判断点在线段范围内

如图所示为点在线段上的三种情况，可以明确，当 $t\in [0,1]$ ，点 $(x,y)$ 在线段 $(x_1,y_1)$ —— $(x_2,y_2)$ 上

AC代码如下：

class Solution {
public:
    vector<double> intersection(vector<int>& start1, vector<int>& end1, vector<int>& start2, vector<int>& end2) {
        x1 = start1[0], y1 = start1[1], x2 = end1[0], y2 = end1[1];
        x3 = start2[0], y3 = start2[1], x4 = end2[0], y4 = end2[1];
        if(isparallal()){
            if(ispointonline(x1, y1, x3, y3, x4, y4)) update(x1, y1);
            if(ispointonline(x2, y2, x3, y3, x4, y4)) update(x2, y2);
            if(ispointonline(x3, y3, x1, y1, x2, y2)) update(x3, y3);
            if(ispointonline(x4, y4, x1, y1, x2, y2)) update(x4, y4);
        }
        else {
            double t1 = (double)((x3 - x1) * (y4 - y3) - (y3 - y1) * (x4 - x3)) 
              								/ ((x2 - x1) * (y4 - y3) - (x4 - x3) * (y2 - y1));
            double t2 = (double)((x1 - x3) * (y2 - y1) - (y1 - y3) * (x2 - x1)) 
              								/ ((x4 - x3) * (y2 - y1) - (x2 - x1) * (y4 - y3));
            if (t1 >= 0.0 && t1 <= 1.0 && t2 >= 0.0 && t2 <= 1.0) {
                res = {x1 + t1 * (x2 - x1), y1 + t1 * (y2 - y1)};
            }
        }
        return res;
    }

private:
    int x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4;
    vector<double> res;

    /* 判断是否平行 */
    bool isparallal(){
        return (x2 - x1) * (y4 - y3) == (y2 - y1) * (x4 - x3);
    }

    /*  在平行基础上，判断点(x,y)是否在线段(sx,sy)——(ex,ey)上 */
    bool ispointonline(int x, int y, int sx, int sy, int ex, int ey){
        if(sx == ex && x == ex) return isbetween(y, sy, ey);    // 垂直于x轴
        if(sy == ey && y == ey) return isbetween(x, sx, ex);    // 垂直于y轴
        double t1 = (double)(x - sx) / (ex - sx);
        double t2 = (double)(y - sy) / (ey - sy);
        return t1 == t2 && t1 >= 0.0 && t1 <= 1.0;
    }

    /* 判断x是否在范围内 */
    bool isbetween(int x, int x1, int x2){
        if(x1 > x2) swap(x1, x2);
        return x >= x1 && x <= x2;
    }

    /* 重合时，更新最小(x,y) */
    void update(int x, int y){
        if (res.empty()){
            res.push_back((double)x);
            res.push_back((double)y);
        }
        else if ((double)x < res[0] || ((double)x == res[0] && (double)y < res[1])){
            res[0] = (double)x;
            res[1] = (double)y;
        }
    }
};

2 向量法

转换一下思路，用向量的思路进行思考

2.1 如何判断直线平行

向量内积（点乘）为0，表示向量垂直；向量外积（叉乘）为0，表示向量平行。用 $a=(x_1,y_1)$, $b=(x_2,y_2)$ 表示两个向量，则有：

$$a\perp b\iff a\cdot b=x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$$

$$a\parallel b\iff a\times b=x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$$

2.2 如何判断线段相交

如图所示，当且仅当P、Q在直线MN两侧，且M、N在直线PQ两侧时，线段PQ与MN相交。

那么我们的问题就转变为如何借助向量，判断两点是否在直线两侧。考虑下图：

向量的外积具有一定的几何意义，当 $a\times b=x_1{y}_2-x_2{y}_1>0$ 则 $b$ 在 $a$ 逆时针方向；当 $a\times b=x_1{y}_2-x_2{y}_1<0$ 则 $b$ 在 $a$ 顺时针方向。因此可得，

$$M、N在PQ两侧\iff (PM\times PQ)(PN\times PQ)\le 0$$

则有

$$MN与PQ相交\iff (PM\times PQ)(PN\times PQ)\le 0且(MP\times MN)(MQ\times MN)\le 0$$

2.3 如何求交点

向量的外积，除了可表示向量的方向之外，还可用于计算三角形的面积。

$$\because |AB\times AC|=|AB|\cdot |AC|\cdot sin(\angle BAC)$$

$$\therefore S(△ABC)=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot |AC|\cdot sin(\angle BAC)=\frac{1}{2}\cdot |AB\times AC|$$

交点在直线中的位置，也可转换为面积的位置，最终通过计算叉积得到，若 $M(x_1,y_1)$, $N(x_2,y_2)$ ，则可计算出点 $O(x,y)$ 的坐标

AC代码如下：

class Solution {
public:
    vector<double> intersection(vector<int>& start1, vector<int>& end1, vector<int>& start2, vector<int>& end2) {
        pmx = start2[0] - start1[0], pmy = start2[1] - start1[1];
        pnx = end2[0] - start1[0], pny = end2[1] - start1[1];
        pqx = end1[0] - start1[0], pqy = end1[1] - start1[1];
        mpx = -pmx, mpy = -pmy;
        mqx = end1[0] - start2[0], mqy = end1[1] - start2[1];
        mnx = end2[0] - start2[0], mny = end2[1] - start2[1];
        npx = -pnx, npy = -pny;
        nqx = end1[0] - end2[0], nqy = end1[1] - end2[1];
        if(cross(pqx, pqy, mnx, mny) == 0){
            if(ispointonline(start1, start2, end2)) update(start1);
            if(ispointonline(end1, start2, end2)) update(end1);
            if(ispointonline(start2, start1, end1)) update(start2);
            if(ispointonline(end2, start1, end1)) update(end2);
        }
        else if(isintersect()){
            double lambda = fabs((double)cross(mpx, mpy, mqx, mqy) / cross(npx, npy, nqx, nqy));
            double k = lambda / (lambda + 1);
            res.push_back(start2[0] + k * (end2[0] - start2[0]));
            res.push_back(start2[1] + k * (end2[1] - start2[1]));
        }
        return res;
    }

private:
    int pmx, pmy, pnx, pny, pqx, pqy, mpx, mpy, mqx, mqy, mnx, mny, npx, npy, nqx, nqy;
    vector<double> res;

    /* 计算向量乘积 */
    int cross(int x1, int y1, int x2, int y2){
        return x1 * y2 - x2 * y1;
    }

    /* 判断两线段是否相交 */
    bool isintersect(){
        return cross(pmx, pmy, pqx, pqy) * cross(pnx, pny, pqx, pqy) <= 0 
            && cross(mpx, mpy, mnx, mny) * cross(mqx, mqy, mnx, mny) <= 0;
    }

    /*  在平行基础上，判断点(x,y)是否在线段(sx,sy)——(ex,ey)上 */
    bool ispointonline(vector<int>& point, vector<int>& start, vector<int>& end){
        int x = point[0], y = point[1];
        int sx = start[0], sy = start[1], ex = end[0], ey = end[1];
        if(sx == ex && x == ex) return isbetween(y, sy, ey);    // 垂直于x轴
        if(sy == ey && y == ey) return isbetween(x, sx, ex);    // 垂直于y轴
        double t1 = (double)(x - sx) / (ex - sx);
        double t2 = (double)(y - sy) / (ey - sy);
        return t1 == t2 && t1 >= 0.0 && t1 <= 1.0;
    }

    /* 判断x是否在范围内 */
    bool isbetween(int x, int x1, int x2){
        if(x1 > x2) swap(x1, x2);
        return x >= x1 && x <= x2;
    }

    /* 重合时，更新最小(x,y) */
    void update(vector<int>& point){
        int x = point[0], y = point[1];
        if (res.empty()){
            res.push_back((double)x);
            res.push_back((double)y);
        }
        else if ((double)x < res[0] || ((double)x == res[0] && (double)y < res[1])){
            res[0] = (double)x;
            res[1] = (double)y;
        }
    }
};