图论基础知识(一) —— 图

一、定义

定义1:图

设V是一个非空集合,E是一个V中元素的无序对构成的多重集,有序对G=称为一个图(graph)。其中,V称为顶点集,其元素称为顶点或点(vertex),E称为边集,其元素为边(edge)。

定义2:关联、邻接

设G是一个图,u、v∈V(G),e = uv ∈E(G),称u、v为e的端点,e为连接u、v的边,并称顶点u、v与边e彼此关联(incident),顶点u和v是邻接的(adjacent)。

定义3:相邻边、相邻点

在任意图中,同一条边关联的两个点,称为相邻点,同一个点关联的诸多边称为相邻边

定义4:自环、多重边

设G是一个图,若e∈G的两端点重合为一点,即e = uu,则e为自环,若uv∈E(G)的重复度 > 1,则称uv是多重边

定义5:度数、孤立点、悬挂点、奇顶点、偶顶点

设G是一个图,v∈V(G),与v相关联的边数(自环计算两次)称为v的度数,记为 d G ( v ) d_G(v) dG(v)或简记为 d ( v ) d(v) d(v)。度数为0的点称为孤立点,度数为1的点称为悬挂点,度数为奇数的点称为奇顶点,度数为偶数的点称为偶顶点

图G中顶点的最小度数即为 δ ( G ) \delta(G) δ(G),最大度数记为 Δ ( G ) \Delta(G) Δ(G),即
δ ( G ) = min ⁡ { d ( v ) ∣ v ∈ V ( G ) } Δ ( G ) = max ⁡ { d ( v ) ∣ v ∈ V ( G ) } \delta(G) = \min \{d(v) | v \in V(G)\} \\ \Delta(G) = \max \{d(v) | v \in V(G)\} δ(G)=min{d(v)vV(G)}Δ(G)=max{d(v)vV(G)}

定义6:有限图、顶点数、边数

设G是图,若V(G)和E(G)均是有限集,则称G为有限图。用v(G)或v表示图G的点数,用ε(G)或ε表示图G的边数。

定义7:平凡图、零图、简单图、多重图

(1)设v = 1,ε = 0, 称G是平凡图
(2)如果ε = 0,称G是零图
(3)不含多重边和自环的图称为简单图
(4)含有多重边的图称为多重图

定义8:完全图

设G是一个简单图,如果G中任何两顶点之间均有边相连,则称G为完全图,具有n个顶点的完全图记为 K n K_n Kn

定义9:二分图

设G是一个图,如果存在V(G)的子集 V 1 V_1 V1 V 2 V_2 V2使得 V 1 ∪ V 2 = V ( G ) V_1 \cup V_2 = V(G) V1V2=V(G) V 1 ∩ V 2 = ∅ V_1 \cap V_2 = \emptyset V1V2=,且 V 1 V_1 V1中任意两点不相邻, V 2 V_2 V2中任意两点不相邻,则称G为二分图,并称 { V 1 , V 2 } \{V_1,V_2\} {V1,V2}为G的一个二划分,进一步,若 V 1 V_1 V1中每一点皆与 V 2 V_2 V2中所有点相邻,则称G为完全二分图,且当 ∣ V 1 ∣ = m |V_1|= m V1=m ∣ V 2 ∣ = n |V_2| = n V2=n,将其记作 K m , n K_{m,n} Km,n

定义10:正则图

设G是一个图,k是一个常数,若G中每个顶点的度数均为k,则称G为k次正则图

定义11:子图、真子图、生成子图

设G、H是两个图,如果V(H)⊆V(G),E(H)⊆E(G),则称H是G的子图,记为H⊆G。若H⊆G且H≠G称H是G的真子图,记作H⊂G。若H⊆G且V(H) = V(G),称H是G的生成子图。

定义12:边导出子图、点导出子图

设G是一个图, E 1 ⊆ E ( G ) E_1 \subseteq E(G) E1E(G),以 E 1 E_1 E1为边集, E 1 E_1 E1中边的端点, E 1 E_1 E1中边的端点全体为顶点集构成的子图,称为由 E 1 E_1 E1导出的G的子图(边导出子图),记为 G ( E 1 ) G(E_1) G(E1)。又设 V 1 ⊆ V ( G ) V_1 \subseteq V(G) V1V(G),以 V 1 V_1 V1为顶点集,端点均在 V 1 V_1 V1中的边的全体为边集,构成的子图,称为由 V 1 V_1 V1导出的G的子图(点导出子图),记为 G ( V 1 ) G(V_1) G(V1)

定义13:补图

设G是具有n个顶点的简单图,从这n个点构成的完全图 K n K_n Kn中删去G的所有边,但保留顶点集V(G)所得到的图称为G的补图,简称G的补,记为~G。

定理

定理1(握手定理)

对任一图G,有
∑ v ∈ V ( G ) d ( v ) = 2 ϵ \sum_{v \in V(G)}d(v) = 2 \epsilon vV(G)d(v)=2ϵ
推论  任意图中奇顶点的个数必为偶数

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