基带传输系统的奈奎斯特准则与奈奎斯特速率
奈奎斯特准则与带限信道可行的码元速率探究（篇二）:无码间串扰与奈奎斯特准则
写在前：
本篇是《奈奎斯特准则与带限信道可行的码元速率探究》的篇二，基础知识部分。主要介绍了基带传输系统中的码间串扰的解决、奈奎斯特准则与奈奎斯特速率。本系列文章的篇一：什么是码间串扰介绍了码间串扰的基本概念和原理。
为了最好地传输数字信号，应该保证接收时没有码间串扰，根据：什么是码间串扰可知需要传输系统总的冲击响应 h ( t ) h(t) h(t)满足 h ( n T s ) = { h ( 0 ) = 常 数 , n = 0 = h ( 0 ) δ [ n ] 式 （ 1 ） 0 , n ≠ 0 h(nT_s)= \left\{ \begin{array}{ll}h(0)=常数,\ \ \ n=0\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =h(0)\delta[n] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 式（1）\\0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n\neq0\end{array} \right. h(nTs)=⎩⎨⎧h(0)=常数, n=0 =h(0)δ[n] 式（1）0, n̸=0
即， h ( t ) h(t) h(t)的抽样序列是数字冲激序列 δ [ n ] \delta[n] δ[n]（这里不妨考虑归一化后的 h ( t ) h(t) h(t)）。
式（1）这一条件是数字基带传输系统无码间串扰的充要条件，它也可以用传输系统总的频率响应 H ( f ) H(f) H(f)（从频域上）来表述，被称为奈奎斯特（Nyquist）准则。
奈奎斯特准则：
定理（Nyquist准则） 数字基带传输系统无码间串扰的充要条件是式（1），其频域形式为 ∑ k = − ∞ ∞ H ( t − k / T s ) = 常 数 式 （ 2 ） \sum_{k=-\infty}^\infty H(t-k/T_s)=常数\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 式（2） k=−∞∑∞H(t−k/Ts)=常数 式（2）
其中 R s = 1 / T s R_s=1/T_s Rs=1/Ts，即码元速率，于是该定理又有形式 ∑ k = − ∞ ∞ H ( t − k ⋅ R s ) = 常 数 \sum_{k=-\infty}^\infty H(t-k\cdot R_s)=常数 ∑k=−∞∞H(t−k⋅Rs)=常数。
证明 根据前面ISI的分析，这一结论的时域部分是明显的，而频域部分可以如下说明。
F [ ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) ] = 1 T s ∑ k = − ∞ ∞ δ ( f − k / T s ) ， F [ δ [ n ] ] = 1 \mathcal{F}\bigg[\sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t-nT_s)\bigg]=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty \delta(f-k/T_s)，\mathcal{F}\big[\delta[n] \big]=1 F[n=−∞∑∞δ(t−nTs)]=Ts1k=−∞∑∞δ(f−k/Ts)，F[δ[n]]=1
h ( n T s ) = h ( t ) ∑ n = − ∞ ∞ δ ( t − n T s ) ⟷ H ( f ) ∗ [ 1 T s ∑ k = − ∞ ∞ δ ( f − k / T s ) ] = 1 T s ∑ k = − ∞ ∞ H ( f − k / T s ) h(nT_s)=h(t)\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT_s)\longleftrightarrow H(f)\ast\bigg[\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty \delta(f-k/T_s)\bigg]=\frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty H(f-k/T_s) h(nTs)=h(t)n=−∞∑∞δ(t−nTs)⟷H(f)∗[Ts1k=−∞∑∞δ(f−k/Ts)]=Ts1k=−∞∑∞H(f−k/Ts)
根据式（1）可得： 1 T s ∑ k = − ∞ ∞ H ( f − k / T s ) = h ( 0 ) （ 常 数 ） \frac{1}{T_s}\sum_{k=-\infty}^\infty H(f-k/T_s)=h(0)（常数） Ts1k=−∞∑∞H(f−k/Ts)=h(0)（常数）
于是定理得证。
Nyquist准则的含义是：判断任何信道是否含有ISI的有效方法是计算并观察 ∑ k = − ∞ ∞ H ( f − k ⋅ R s ) \sum_{k=-\infty}^\infty H(f-k\cdot R_s) ∑k=−∞∞H(f−k⋅Rs)是否为常数。由于它是 H ( f ) H(f) H(f)按 R s R_s Rs周期重复的结果，一定是周期为 R s R_s Rs的函数，因此，只需观察它在 ( − R s / 2 ， R s / 2 ) (-R_s/2，R_s/2) (−Rs/2，Rs/2)上是否为常数就可以做出判断。
现在我们讨论一下基带信道的无码间串扰。由于基带信道是带限（低通）的，于是传输系统的频响函数也是带限的。假定 H ( f ) H(f) H(f)的带宽为 W W W，传输系统欲以 R s = 1 / T s R_s=1/T_s Rs=1/Ts的码率通过它传输数字序列，依据奈奎斯特准则，会出现下面三种情况：
图 1 带 限 信 道 ∑ k = − ∞ ∞ H ( t − k ⋅ R s ) 图1\ 带限信道\sum_{k=-\infty}^\infty H(t-k\cdot R_s) 图1 带限信道k=−∞∑∞H(t−k⋅Rs)
（1） R s > 2 W R_s>2W Rs>2W：如图1.（a）所示，将 H ( f ) H(f) H(f)按周期 R s R_s Rs重复后根本无法形成常数频谱，因此，该系统无法满足奈奎斯特准则，接收中一定存在码间串扰；
（2） R s = 2 W R_s=2W Rs=2W：如图1.（b）所示，当且仅当 H ( f ) H(f) H(f)正好为 R s / 2 R_s/2 Rs/2的理想LPF（理想低通滤波器）时，它按 R s R_s Rs周期重复后恰好可构成常数频谱。因此，无码间串扰接收的充要条件为 H ( f ) H(f) H(f)是如下的理想LPF H ( f ) = { 常 数 , ∣ f ∣ ⩽ R s 式 （ 3 ） 0 , ∣ f ∣ > R s H(f)= \left\{ \begin{array}{ll}常数,\ \ \ |f|\leqslant R_s\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 式（3）\\0,\ \ \ \ \ \ \ \ \ |f|>R_s\end{array} \right. H(f)=⎩⎨⎧常数, ∣f∣⩽Rs 式（3）0, ∣f∣>Rs
（3） R s < 2 W R_s<2W Rs<2W：如图1.（c）所示，这时，有可能找到某些合适的 H ( f ) H(f) H(f)，周期重复时满足奈奎斯特准则，从而保证接收时无码间串扰。
由上面的讨论可以立即得到一个简明的关系式，在无码间串扰的条件下必有： R s ⩽ 2 W R_s\leqslant2W Rs⩽2W。
在关于理想LPF的码率的介绍中，我的老师比较严谨地补充到：理想LPF的码率上限就是 2 W 2W 2W，当码率低于 2 W 2W 2W时，有可能满足无码间串扰，就是说有的速率可以有的速率不可以，具体条件他尚未探究过，有兴趣可以自行探究。
关于上面这一段话我产生了疑惑和思考：理想低通滤波器的码率存在着 R s max = 2 W R_{s\ \max}=2W Rs max=2W的限制让我在常识上很容易接受，但是却又有 R s < 2 W R_s<2W Rs<2W不一定满足无码间串扰的意思。按照我自己本来的直觉既然码率有上限，那么当码率低于这个上限就应该满足无码间串扰了；就像存在一个固定容量的单车道（类比理想低通信道，即理想LPF），每前后两辆车（类比码元）存在着安全距离（最小传输时间间隔，类比 T s T_s Ts），车与车之间可以按照任意大过安全距离的距离行驶，只是信道的传输效率不同而已。不过，抽样判决得到的序列又确实与抽样时间间隔有关，那码元速率（也即码元间隔）在低于极限时也确实应该存在着限制。
那么，对于理想LPF的码元速率究竟有着具体怎样的形式和限制呢？我们就用已经证明的奈奎斯特定理进行进一步的探究吧！参见《奈奎斯特准则与带限信道可行的码元速率探究》的篇三，理想低通滤波器的可行码元速率探究。
注：本篇中的部分内容和图例参考了李晓峰主编的《通信原理》