同济高等数学第七版1.5习题精讲

同济高等数学第七版1.5习题精讲
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(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
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(10)
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(12)
(13)
(14)
解：(1)，此时可以直接代入计算。
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(12)
(13) 此题可采用观察法，打开括号后发现分子上面最大项为。
(14)

2.计算下列极限：

(1)
(2)
(3)

解：(1)因为，所以原式等于.
(2).
(3)因为，所以原式等于.

3.计算下列极限：

(1)
(2)
解：(1)因为当时，，而，所以原式极限为0.

(2)因为当时，，而，所以原式极限为0.

4.设均为非负数列，且,,。下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由：如果是错的，试给出一个反例。

(1)
(2)
(3)不存在
(4)不存在

解：(1)错误，此时对于所有都要求成立，不一定。例如：,.与描述不符。

(2)错误，例如：,.与描述不符。

(3)错误，,.

(4)对。因为。如果答案存在，则==也应该存在，与描述矛盾。

5.下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的。如果是对的，说明理由：如果是错的，试给出一个反例。

(1)如果存在，但不存在，那么不存在。
(2)如果和都不存在，那么不存在。
(3)如果存在，但不存在，那么不存在。

解：(1)对。因为如果存在，则,说明二者极限都存在，与描述矛盾。

(2)错误。例如：.。当时，二者极限都不存在。但二者相加的极限存在。

(3)错误。例如：.当时，二者相乘的极限存在。

6.证明：证明定理3(2).如果，那么。
证明：如果，则存在如果，都是该种趋势下的无穷小量。则。此时都是无穷小量。所以求极限后仅剩下.于是。