bzoj 1296 & 洛谷4158 [SCOI2009]粉刷匠 题解

题意简述

一个$n\times m$的矩阵，每个位置珂能是粉色（0表示）或者是蓝色（1表示），然后你珂以对同一行里连续一段长度的区间染上一种颜色（覆盖型），你能染$t$次，每次不限长度。求你染到的正确的颜色的个数最多是多少。

思路框架

$f[i][j]$表示前$i$行染$j$次最大染色个数。$g[i][j][k]$表示第$i$行染$j$次只考虑前$k$个格子最大方案。

具体思路

$DP$题分两步，设状态，求转移。

多数题目是状态不好设的。像这个题就是，我想了好久没想出来状态怎么设，看一下题解知道状态怎么设之后就是秒切。那么，我们这个题也是分两块来讲。

Part 1. 状态

首先$f$是很好想的。答案就是$f[n][i](i\in [1,t])$中的最大值。

然后我们来求$f[i][j]$的转移。求着求着发现，我们先要枚举一个$k$，$k$小于$j$。转移的一部分就是$f[n-1][j-k]$，就是上一行染$j-k$次。还有$k$次留给这一行。所以我们要加上一个数，这个数就是：第$i$行中染$k$次正确染色的最大值。

然后我们来求这个子问题。

Part 1.1 子问题的状态

设$g[i][j]$表示第$i$行染$j$次的答案。考虑转移。。。转你妈，缺状态。观察数据也能轻易发现，应该是$O(nmt)$的算法，然后$O(nt)$过是什么鬼，肯定还缺一维。

缺什么状态呢。我们发现，还和染到了那里有关。不妨再加上一个$k$，表示我们考虑到第$k$个位置。

Part 1.2 子问题的转移

然后就来推转移了。像这种有“考虑到第xxx个位置”为一个状态的$DP$，通常我们用枚举断点作转移。枚举断点$q$（我真的没名字了，$i,j,k$都用过了，就叫$q$了，随便一点）。由定义，$q$小于$k$。还有一个注意点，$q$是能取$0$的。其原因是，我习惯枚举的是$q$把区间分成$[0,q]$和$[q+1,k]$。显然，$q$取$0$时也有意义。

然后我们要看$[q+1,k]$中是蓝色多还是粉色多，哪个多我们就染那种颜色。这样显然是对的。然后我们只要维护一个前缀和出来，维护每一行内蓝色的前缀和，记为$sum$。看是 $sum[i][k]-sum[i][q]$大，还是$(k-q)-(sum[i][k]-sum[i][q])$大。设这两个的最大值为$S$。

那么$g[i][j][k]=max(g[i][j-1][q]+S)$。

Part 1.3 时间复杂度？

看起来状态数是$O(nmt)$，转移数是$O(m)$，复杂度$O(n{m}^{2}t)$。但是，$g$的第二维，即染了$j$次那一维中，显然$j$不会超过$m$。因为这一行最多就$m$个数，染$m$次啥事都解决了。所以复杂度应该是$O(n{m}^3)$，即$O(50^4)$。稳过。

子问题完毕

Part 2. 转移

好了，回到主线。有了$g$之后，就珂以得到$f$的转移：

$f[i][j]=max(f[i-1][j-k]+g[i][k][m]) $（哎哟这个式子不要太显然，我真的不想解释了）

（$Part2$比$Part1$短很多，说明这个题重点在设状态，是个毒瘤题）

代码 （精髓）

#include 
using namespace std;
namespace Flandre_Scarlet
{
    #define N 61
    #define T 2602
    #define F(i,l,r) for(int i=l;i<=r;++i)
    #define D(i,r,l) for(int i=r;i>=l;--i)
    #define Fs(i,l,r,c) for(int i=l;i<=r;c)
    #define Ds(i,r,l,c) for(int i=r;i>=l;c)
    #define Tra(i,u) for(int i=G.Start(u),__v=G.To(i);~i;i=G.Next(i),__v=G.To(i))
    #define MEM(x,a) memset(x,a,sizeof(x))
    #define FK(x) MEM(x,0)

    int n,m,t;
    int sum[N][N];char mp[N][N];
    void R1(int &x)
    {
        x=0;char c=getchar();int f=1;
        while(c<'0' or c>'9') f=(c=='-')?-1:1,c=getchar();
        while(c>='0' and c<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();
        x=(f==1)?x:-x;
    }
    void Input()
    {
        R1(n),R1(m),R1(t);
        F(i,1,n)
        {
            scanf("%s",mp[i]+1);
            sum[i][0]=0;
            F(j,1,m) 
            {
                if (mp[i][j]=='1') sum[i][j]=sum[i][j-1]+1; 
                else sum[i][j]=sum[i][j-1];
            } 
        }
    }

    int f[N][T],g[N][T][N];
    void Soviet()
    {
        F(i,1,n) F(j,1,t) F(k,1,m) F(q,0,k-1)
        {
            int ss=sum[i][k]-sum[i][q];
            int S=max(ss,(k-q)-ss);
            g[i][j][k]=max(g[i][j][k],g[i][j-1][q]+S);
        }

        F(i,1,n) F(j,1,t) F(k,0,min(j,m)) f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-k]+g[i][k][m]);
        printf("%d\n",*max_element(f[n]+1,f[n]+t+1));
    }

    #define Flan void
    Flan IsMyWife()
    {
        Input();
        Soviet();
    }
}
int main()
{
    Flandre_Scarlet::IsMyWife();
    getchar();getchar();
    return 0;
}