「学习笔记」二次剩余

说明：本文涉及变量除特殊说明外，全部属于整数集合。

前置芝士——二次剩余

二次剩余

当存在 \(x\) 使得 \(x^2\equiv a\pmod{p}\) ，那么我们称 \(a\) 是取模 \(p\) 的二次剩余(Quadratic residue)。

对于一个奇素数 \(p\) ，定义它的二次剩余集合为 \(F_p\) ，并且对于其中每一个数 \(n\) 满足 \(\exists x\in [0,p),x^x\equiv n\pmod{p}\) 。

二次剩余的个数

对于前面定义的集合，有 \(\mid F_p \mid=\frac{p+1}{2}\) ，证明如下：

令 \(u^2\equiv v^2\equiv n\pmod{p},u\neq v\) ，那么
\[ \begin{aligned} p&\mid (u^2-v^2)\\ \Longrightarrow p&\mid (u-v)(u+v) \end{aligned} \]
显然，若 \(p\mid (u-v)\) ，因为 \(p\) 为奇素数，那么 \(u-v=p\) ，但这是不可能满足的。

即一定有 \(p\nmid (u-v)\) ，那么就有 \(p\mid (u+v)\) ，同理， \(u+v=p\) 。

即在 \(u,v\in [0,p)\) 的范围中，除 \(0\) 以外，其他的数两两对应。

那么个数就是 \(\frac{p-1}{2}+1=\frac{p+1}{2}\) ，证毕。

欧拉准则

用来判定一个非零数是否是二次剩余。

对于一个 \(d\) 满足 \((d,p)=1,d>0\) ，那么一定满足
\[ d^{\frac{p-1}{2}}\pmod{p}=\left \{ \begin{aligned} 1,d&\in F_p\\ -1,d&\notin F_p \end{aligned} \right. \]
证明：

根据费马小定理，一定有
\[ \begin{aligned} d^{p-1}-1&\equiv 0&\pmod p\\ \Longrightarrow(d^{\frac{p-1}{2}}-1)(d^{\frac{p-1}{2}}+1)&\equiv 0&\pmod p \end{aligned} \]
若 \(\exists x,x^2\equiv d\pmod p\) ，那么就有 \(d^{\frac{p-1}{2}}\equiv x^{p-1}\pmod p\) 。

那么，就有满足 \(d\in F_p\) 时，有 \(d^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1\pmod{p}\) 。

过程

现在我们要求一个 \(x\) 满足
\[ x^2\equiv a\pmod p \]
用以下步骤可求得 \(x\) 。

1. 随机一个 \(t\) ，满足 \(t^2-a\notin F_p\) 。
2. 令 \(\omega =\sqrt{t^2-a}\) ，则 \(x=(t+\omega)^{\frac{p+1}{2}}\)

证明过程需要几个小定理...

定理一

• 内容：

\[ (a+b)^p\equiv a^p+b^p\pmod p \tag{1} \]

• 证明：

\[ (a+b)^p=\sum_{i=0}^p\binom{p}{i}a^ib^{p-i} \]

当 \(i\neq 0\) 且 \(i\neq p\) ，满足 \(\binom{p}{i}\equiv 0\pmod p\) 。

定理二

• 内容：

\[ \omega^p\equiv-\omega \pmod{p} \tag{2} \]

• 证明：

因为 \(t^2-a\notin F_p\) ，所以满足
\[ \omega^{p-1}=(\omega^2)^{\frac{p-1}{2}}=(t^2-a)^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1 \pmod{p} \]

定理三

• 内容：

\[ (a+\omega)^p\equiv a-\omega \pmod{p} \tag{3} \]

由 \((1)、(2)\) 显然。

证明

由前面的定理可知
\[ \begin{aligned} x^2&=(t+\omega)^{p+1} \\ &=(t+\omega)(t+\omega)^p \\ &\equiv (t+\omega)(t-\omega) \pmod{p}\\ &=t^2-\omega^2 \\ &=t^2-(t^2-a) \\ &=a \end{aligned} \]

关于 ω

方程 \(x^2-a=0\) 在任何域中都有两个根（由勒让德定理），并且并且我们前面得到了这两个根都在模 \(p\) 的剩余系中，所以没有 \(\omega\) 。

代码实现

代码处理的时候，只需要记录公式中 \(a+b\omega\) 的两个系数 \(a、b\) 即可。

inline int Pow(ll x, int y=P-2){
    int ans=1;
    for(; y; y>>=1, x=x*x%P) if(y&1) ans=ans*x%P;
    return ans;
}
inline pair pMul(pair x, pair y, int f){
    return make_pair(
        (int)(((ll)x.first*y.first+(ll)x.second*y.second%P*f)%P),
        (int)(((ll)x.second*y.first+(ll)x.first*y.second)%P)
    );
}
inline int Quadratic_residue(int a){
    if(Pow(a, (P-1)/2)!=1) return -1;
    int x, f;
    do x=(((ll)rand()<<15)^rand())%(a-1)+1; while(Pow(f=((ll)x*x-a+P)%P, (P-1)/2)==1);
    pair ans=make_pair(1, 0), t=make_pair(x, 1);
    for(int i=(P+1)/2; i; i>>=1, t=pMul(t, t, f)) if(i&1) ans=pMul(ans, t, f);
    return min(ans.first, P-ans.first);
}