程序员必须掌握哪些算法和数据结构？
作为一名程序员，大家有没有想过：编码最本质的知识是什么？或许是算法和数据结构，至少很多人这么认为。
本场 Chat 从以下几个方面讨论算法的性能：- 算法研究的科学方法；
- 编写衡量算法的时间性能类 StopWatch；
- ThreeSum 的例子阐述算法的方方面面；
- 衡量时间复杂度的一种简单度量：波浪线表示；
- 一些典型的 Order of Growth, 比如 log2n, n, nlog2n, n2 , n3；
- 分析 Java 中各种类型的内存消耗，包括原生类型，对象类型，字符串和数组。
1. 科学方法（Scientific method）
以下 5 个步骤总结了此方法，依次为如下，我们设计的实验必须是可以重现的，我们形成的假设必须是具有真伪的。
2. 时间度量
测试程序运行的精确时间有时是困难的，但是我们有许多辅助工具。在这里，我们简化程序运行时间的模型，考虑各种输入情况，并测试每种情况下的运行时间，编写的这个程序名称为：Stopwatch.java，如下所示：
1 public class Stopwatch { 2 3 private final long start; 4 5 public Stopwatch() { 6 start = System.currentTimeMillis(); 7 } 8 9 public double elapsedTime() {10 long now = System.currentTimeMillis();11 return (now - start) / 1000.0;12 }1314 public static void main(String[] args) {15 int n = Integer.parseInt(args[0]);1617 // sum of square roots of integers from 1 to n using Math.sqrt(x).18 Stopwatch timer1 = new Stopwatch();19 double sum1 = 0.0;20 for (int i = 1; i <= n; i++) {21 sum1 += Math.sqrt(i);22 }23 double time1 = timer1.elapsedTime();24 StdOut.printf("%e (%.2f seconds)\n", sum1, time1);2526 // sum of square roots of integers from 1 to n using Math.pow(x, 0.5).27 Stopwatch timer2 = new Stopwatch();28 double sum2 = 0.0;29 for (int i = 1; i <= n; i++) {30 sum2 += Math.pow(i, 0.5);31 }32 double time2 = timer2.elapsedTime();33 StdOut.printf("%e (%.2f seconds)\n", sum2, time2);34 }35}对于大多数程序，首先我们能想到的量化观察是它们有问题的大小（problem size）区别，这个表征了计算复杂度或计算难度。
一般地，问题大小既可以指通过输入数据的大小，也可以指通过命令行参数输入值。
直觉上，运行时间应该会随着问题大小而增加，但是增加的程度怎么度量，这是我们编程运行程序时常遇到的问题。3. ThreeSum 例子
为了阐述方法，我们先引入一个具体的编程问题：ThreeSum，它是在给定的含有 n 个元素的数组中找出三元组之和等于 0 的个数。
这个问题最简单的一个解法：枚举。代码如下：
1 public class ThreeSum { 2 3 // print distinct triples (i, j, k) such that a[i] + a[j] + a[k] = 0 4 public static void printAll(int[] a) { 5 int n = a.length; 6 for (int i = 0; i < n; i++) { 7 for (int j = i+1; j < n; j++) { 8 for (int k = j+1; k < n; k++) { 9 if (a[i] + a[j] + a[k] == 0) {10 StdOut.println(a[i] + " " + a[j] + " " + a[k]);11 }12 }13 }14 }15 }1617 // return number of distinct triples (i, j, k) such that a[i] + a[j] + a[k] = 018 public static int count(int[] a) {19 int n = a.length;20 int count = 0;21 for (int i = 0; i < n; i++) {22 for (int j = i+1; j < n; j++) {23 for (int k = j+1; k < n; k++) {24 if (a[i] + a[j] + a[k] == 0) {25 count++;26 }27 }28 }29 }30 return count;31 }3233 public static void main(String[] args) {34 int[] a = StdIn.readAllInts();35 Stopwatch timer = new Stopwatch();36 int count = count(a);37 StdOut.println("elapsed time = " + timer.elapsedTime());38 StdOut.println(count);39 }40}我们在这里主要关心的是输入数据大小与运行时长的关系。我们循着如下的思路分析两者间的关系。
3.1 加倍假设
加倍假设（Doubling hypothesis）对于大量的程序而言，我们能很快地形成如下假设：假如输入数据的个数加倍，运行时间怎么变化。
3.2 经验分析
经验分析（Empirical analysis）一种简单的实现加倍假设的方法是使输入数据的个数加倍，然后观察对运行时长的影响。 如下所示为一个简单的通过加倍输入个数，测试运行时长的程序：DoublingTest.Java。 1public class DoublingTest { 2 3 public static double timeTrial(int n) { 4 int[] a = new int[n]; 5 for (int i = 0; i < n; i++) { 6 a[i] = StdRandom.uniform(2000000) - 1000000; 7 } 8 Stopwatch s = new Stopwatch(); 9 ThreeSum.count(a);10 return s.elapsedTime();11 }121314 public static void main(String[] args) {15 StdOut.printf("%7s %7s %4s\n", "size", "time", "ratio");16 double previous = timeTrial(256);17 for (int n = 512; true; n += n) {18 double current = timeTrial(n);19 StdOut.printf("%7d %7.2f %4.2f\n", n, current, current / previous);20 previous = current;21 }22 }23}再回到 ThreeSum.java 程序中，我们生成一系列随机数，填充到输入数组中，每一个时步都加倍输入元素个数，然后观察到每一次程序所运行的时间都会大致增加 8 倍，这个就可以让我们下结论说输入数据加倍后运行时间增加了 8 倍。
如下图中左侧视图所示，当输入大小为 4K 时，运行时长为 64T，当输入带下为 8K 时，运行时长变为原来的 8 倍：512T。
3.3 数学分析
总的运行时长受到两个主要指标影响：
- 执行每一个语句的成本
- 执行每一个语句的次数
但是，有些需要更高层次的推理演算才能得到语句的执行频次，比如 if 语句被执行的次数恰好为：n(n-1)(n-2)/6。
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