简单编程题目连载（十一）——0-1背包问题

经典的动态规划问题。

本篇也许是最通俗易懂的0-1背包问题解答。

问题描述：一个背包有一定的承重cap，有n件物品，每件都有自己的价值，记录在数组v中，也都有自己的重量，记录在数组w中，每件物品只能选择要装入背包还是不装入背包，要求在不超过背包承重的前提下，选出物品的总价值最大。

这道题如果是给你一个包，一堆物品，相信要不了一分钟你就能装好这个包。但是怎么让计算机算出来呢？其实计算机计算时远没有我们聪明，它只能一个一个去试，基本上罗列出所有的办法，最终得到最优解。而动态规划本质上没有减轻计算机大量计算的负担，只是让它计算的有规律，尽可能的减少重复计算，并且以牺牲空间为代价，换取时间上的效率。

动态规划问题连载了5篇文章了，并且找零钱问题通过使用了三种办法循序渐进得到动态规划的解答。相信对于动态规划肯定有了一些认识和理解。

简单的总结，动态规划肯定需要个矩阵，也就是二维数组。算出第一行第一列，就可以循环求出整个矩阵来。本题也不例外。

新建二维数组dp[i][j]，dp[i][j]表示使用前i件物品，在不超过j重量的情况下达到的最大价值。为什么要这样想？

换个角度，先来求出dp[i][j]，然后就知道原因了。dp[i][j]的值有两种情况。

一种是等于dp[i-1][j]，这种情况的描述是，不拿第i件物品，前i-1件物品在不超过j重量的情况下的最大价值。换个说法，包没有可用重量让我拿第i件物品了，所以dp[i][j]=dp[i-1][j]。

另一种情况dp[i][j]等于dp[i-1][j-w[i]]+v[i]。看起来有一些复杂，它的情况描述是，拿上第i件物品，其价值是前i-1件物品在不超过j-w[i]重量情况下的最大价值加上第i件物品本身的价值。换个说法，现在要拿上第i件物品，就需要包至少有i这件物品的可用重量。

这就是背包问题求dp[i][j]的两种情况，具体是哪一种？哪个大是哪个。给一个具体的例子。

物品有5件。包的承重cap是20。物品价值数组v是{3,5,2,1,4}，重量数组是{2,1,3,4,6}。那么新建数组dp[5][20+1]，因为最终求的是dp[5][20]，所以重量要多建一个单位。矩阵如下：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
0	0	0	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3
1	0	5	5	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8	8
2	0	5	5	8	8	8	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10	10
3	0	5	5	8	8	8	10	10	10	10	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11	11
4	0	5	5	8	8	8	10	10	10	12	12	12	14	14	14	14	15	15	15	15	15

通过这个矩阵就能够非常容易理解这个问题。下面为代码：

public int maxValue(int[] w,int[] v,int n,int cap){
    if(w == null || v == null || n <= 0 || cap <= 0){
        return 0;
    }
    int[][] dp = new int[n][cap+1];
    for(int i = 0; i < cap+1; i++){
        if(i == w[i]){
            while(i < cap+1){
                dp[0][i] = v[0];
                i++;
            }
        break;
        }
    }
    for(int i = 1; i < n; i++){
        for(int j = 1; j < cap+1; j++){
            if(j-w[i] > =0){
                dp[i][j] = dp[i-1][j] > dp[i-1][j-w[i]]+v[i] ? dp[i-1][j] : dp[i-1][j-w[i]]+v[i];
            }else{
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            }
        }
    }
    return dp[n][cap];
}