ST（Sparse Table）算法基本思路及实现

ST算法是在倍增的思想上建立的

什么是倍增？小白可以看这里：https://blog.csdn.net/jarjingx/article/details/8180560

来看一下ST算法是怎么实现的(以最大值为例）：

首先是预处理，用一个DP解决。设a[i]是要求区间最值的数列，f[i,j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。

例如数列3 2 4 5 6 8 1 2 9 7

f[1，0]表示第1个数起，长度为2^0的最大值，其实就是3。

f[1，2]=5，f[1，3]=8，f[2，0]=2，f[2，1]=4……从这里可以看出f[i,0]其实就等于a[i]。

这样，Dp的状态、初值都已经有了，剩下的就是状态转移方程。

f[i j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<

什么意思呢？

我们把f[i，j]的求值区间平均分成两段（因为2^j一定是偶数）:

从i到i+2^(j-1)-1为一段，i+2^(j-1)为到i+2^(j-1)-1为为一段(长度都为2^(j-1)）)。用上例说明，当i=1，j=3时就是3,2,4,5 和 6,8,1,2这两段。f[i，j]就是这两段的最大值中的最大值。

F[i,j]表称为稀疏表（Sparse Table）。有了稀疏表，我们就可以做到O(1)时间查询任意区间的最值。

如在上例中我们要求区间[2，8]的最大值，就要把它分成[2,5]和[5,8]两个区间，因为这两个区间长度为4，最大值我们可以直接由f[2，2]和f[5，2]得到。扩展到一般情况，就是把区间[l，r]分成两个长度为2^j的区间（保证有f[i，j]对应，其中2^j为小于r-l+1的最大值），例如我们要查询区间[2,6],则j=2,我们查询的是两个区间[2,5],[3,6]。

我们用q[l,r] 表示 从第l个数到第r个数中最大的数,则可以得到：

q[l,r]=max(f[l,j],f[r-(2^j)+1,j]);(j=log(j-r+1)/log(2));

下面是代码模板：

int n,q; //n个数，q个查询
int a[50001]; //待查询数据
int f[50001][20];
int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
void rmq_init()
{
    int i,j,k,m;
m=(int)(log(n)/log(2.0));//保险起见用2.0
//求m,使得2的m次方不大于n
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        f[i][0]=a[i];
    }
    for(j=1;j<=m;j++)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            f[i][j]=f[i][j-1];
            k=1<<(j-1);//k等于2的（j-1）次方
            if(i+k<=n) //注意边界
       f[i][j]=max(f[i][j],f[i+k][j-1]);
        }
    }
}
int rmq_query(int l,int r)
{
    int i,m;
    m=(int)(log(r-l+1)/log(2.0));
    i=max(f[l][m],f[r-(1<