机器学习的损失函数

机器学习三方面

机器学习问题，大致包含这是哪个方面：

• 模型：建立什么样的模型
• 目标：怎么定义最大化或最小化的目标函数
• 算法：怎么求解最大或最小化目标函数的优化问题

举个例子：

• 逻辑回归。模型是 y=θ(wx) ；通过最大似然（MLE）构造目标函数；通过SGD求解目标函数。
• 线性回归。模型是 y=wx ；通过最小二乘构建目标函数；通过求解最小二乘得到优化问题的闭解。

机器学习的目的，就是在确定好模型（假设集）的前提下，构建目标函数构建优化问题，然后通过优化算法求解模型的最优参数，通常可以表达成如下式子：

θ=argminθ1N∑i=1NL(yi,f(xi,θ))+λϕ(θ)

式子左边表示经验风险函数，损失函数是其核心部分；式子右边是正则项。式子整体是结构风险函数，其由经验风险函数和正则项组成。

损失函数

交叉熵（逻辑回归）

逻辑回归的经验风险函数如下：

Ein=1N∑i=1Nlog(1+exp(−ynwTxn))

其损失函数叫做交叉熵：

L(yn,xn,w)=log(1+exp(−ynwTxn)

其函数图像如下（横坐标轴代表 ys ，即 ywTx ）：

平方损失函数（最小二乘）

最小二乘的经验风险函数如下：

Ein=1N∑i=1N(yn−wTxn)2

其损失函数为平方损失函数：

L(yn,xn,w)=(yn−wTxn)2

其函数图像如下（横坐标轴代表 ys ，即 ywTx ）：

Hinge损失函数（SVM）

软间隔的SVM有如下表示：

s.t.minb,w,ξ12wTw+C∑n=1Nξnyn(wTxn+b)≥1−ξn,ξn≥0

将约束条件放到最小化的式子中得到软间隔SVM的结构风险函数：

minb,w,ξ12wTw+C∑n=1Nmax(0,1−yn(wTxn+b))

软间隔SVM的损失函数为Hinge损失函数：

L(yn,xn,w,b)=max(0,1−yn(wTxn+b))

其图像为：

指数损失函数（AdaBoost）

在AdaBoost中，数据权重的更新方式为：

u(t+1)nu(t+1)nu(T+1)n∑n=1Nu(T+1)n=u(t)n◊−yngt(xn)=u(t)nexp(−ynαtgt(xn))=1Nexp(−yn∑t=1Tαtgt(xn))=1N∑n=1Nexp(−yn∑t=1Tαtgt(xn))

AdaBoost的训练的目标就是减少 ∑Nn=1u(T+1)n ，因此其风险函数为：

1N∑n=1Nexp(−yn∑t=1Tαtgt(xn))

其损失函数为：

L(yn,xn,α,g)=exp(−yn∑t=1Tαtgt(xn))

其损失函数的图像为：

对比与总结

• 01 loss是最本质的分类损失函数，但是这个函数不易求导，在模型的训练不常用，通常用于模型的评价。
• squared loss方便求导，缺点是当分类正确的时候随着 ys 的增大损失函数也增大。
• cross entropy方便求导，逼近01 loss。
• Hinge Loss当 ys≥1 ，损失为0，对应分类正确的情况；当 ys<1 时，损失与 ys 成正比，对应分类不正确的情况（软间隔中的松弛变量）。
• exponential loss方便求导，逼近01 loss。
• squared loss， cross entropy，exponential loss以及hinge loss的左侧都是凸函数，方便求导有利于优化问题的求解；同时这些loss函数都是01 error的上界，可以通过减少loss来实现01问题的求解，即求解分类问题。