斐波那契数列最优解-矩阵快速幂

       斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列、因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 3，n ∈ N*）在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波纳契数列都有直接的应用。

       1、递归

public static long f1(int n, long[] f) {
        if (n < 1) {
            throw new RuntimeException("输入参数小于1");
        }
        if (n == 1 || n == 2) {
            return 1;
        }

        if (f[n] == 0) {
            f[n] = f1(n-1, f) + f1(n-2, f);
        }
        return f[n];
    }

递归比较直观，但是由于是逆推，重复计算，所以效率低下，可加入map对象查找进行优化，但是由于递归的本质，会导致栈溢出风险，不推荐。

2、顺序加

public static long f2(int n) {
        if (n <= 0) {
            throw new RuntimeException("输入参数小于1");
        }
        if (n == 1 || n == 2) {
            return 1;
        }

        long a = 1;
        long b = 1;
        long c = 0;

        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
        return c;
    }

 无递归栈溢出风险，效率高，时间复杂度O(n).

3、数学表达式计算

通过数学推导，可得出如下结论：

public static long f3(int n) {
        double result = 0;
        double temp = Math.sqrt(5.0);
        result = (Math.pow((1 + temp) / 2, n) - Math.pow((1 - temp) / 2, n)) / temp;
        return (long) result;
    }

时间复杂度依赖于java计算方式。但是由于计算机精度问题，导致该方式在n=71之后就不再准确。

4、矩阵快速幂

                                       

public static long f4(int n){
        if (n <= 0) {
            throw new RuntimeException("输入参数小于1");
        }
        if (n == 1 || n == 2) {
            return 1;
        }

        //单位矩阵
        long[][] result = {{1}, {0}};
        long[][] tem = {{1, 1}, {1, 0}};

        while (n != 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                result  = matrixMultiply(tem, result);
            }
            tem = matrixMultiply(tem, tem);
            //右移一位并赋值
            n >>= 1;
        }
        return  result[1][0];
    }

两个矩阵的乘法：（矩阵相乘方法：http://www.ruanyifeng.com/blog/2015/09/matrix-multiplication.html）

/*矩阵乘法*/
    private static long[][] matrixMultiply(long[][] a, long[][] b){
        int rows = a.length;
        int cols = b[0].length;
        long[][] matrix = new long[rows][cols];
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            for (int j = 0; j < b[0].length; j++) {
                for (int k = 0; k < a[i].length; k++) {
                    matrix[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
                }
            }
        }
        return matrix;
    }

虽然matrixMultiply方法中为for循环嵌套，但是由于斐波那契数列为2*2矩阵，其循环次数一定，时间复杂度可看为O(1),故矩阵快速幂方式求解斐波那契数列时间复杂度为O(logn)