【BSM模型】股票价格对数正态分布的性质，lnE(ST)和E(lnST)的关系

        关于股票价格的对数正态分布，有几个重要性质，曲曲菜在本文中总结一下，并说明得出过程。

几个参数的说明

μ：股票每年的期望收益率。是投资者在很短一段时间内获得收益率的期望值（按年计），股票的漂移率除以期初股价。在非常小的时间区间上才有意义，是短时值的年化。本值与利率水平和股票的非系统性风险有关。本质是一个期望值。

x：在长为T的一段时间内，以连续复利计算的股票的收益率。x=(ln(ST/S0))/T。

σ：股票价格每年的波动率。可以定义为连续复利股票在一年内所提供收益率的标准差。也可以定义为很短一段时间内获得收益率标准差的年化。

1. dST =μSTdt+σSdz =μSTdt+σSdz =

这个式子是我们根据变化规律，为股票价格建模的式子。

2. lnST-lnS0~

或者lnST~

这个式子是我们令G=lnS，根据伊藤引理推导出。进一步可以推导出：E(lnST)=

  。我们知道如果Xt~

，那么Xt=mt+sdz。所以lnST=

，推出ST=

3. ST=

这个式子是我们对x进行定义的式子。可推出x=(ln(ST/S0))/T=(lnST-lnS0)/T，结合2，所以x~

。这说明了以连续复利计算的收益率期望x为什么不等于股票收益率的期望值μ。因为x是一个长期的值，μ是一个短期值得年化。μ只有在短期内有效，与长期值x比较，其实也没有多少意义。

4. E(ST)=

或者lnE(ST)=lnS0+μT

这个式子证明比较复杂，证明过程也比较繁琐，逐个编辑数学公式太费劲，我就直接放手写推导的图片了。

证明过程

         现在根据2和4，可以推出lnE(ST)和E(lnST)的关系了。定量关系：lnE(ST)=E(lnST)+

。定性关系：lnE(ST)>E(lnST)。也可以用几何图形对定性关系做一个认识，如下。

定性认识图形

参考资料

[1]约翰 赫尔.期权、期货及其他衍生品

[2] John Hull.Technical Note 2 Properties of Lognormal Distribution

本文作者：曲曲菜（微信公众号：曲曲菜）

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