希尔伯特变换求包络原理

1. 实信号的傅里叶变换的共轭对称性

我们设x(t)的傅里叶变换为X(jw)

用-w代替w，可得：

即x*(t)的傅里叶变换为X*(-jw)
若x(t)为实信号，则x(t)=x*(t)，两边经过傅里叶变换后可得X(jw)=X*(-jw)。
实信号的傅里叶变换包含负频率，若想去掉负频率但总功率又保持不变，则令

u(t)为阶跃函数，（为了写的方便把j去掉了）
经过傅里叶反变换：

由此引出了希尔伯特变换。

2.希尔伯特变换

希尔伯特变换相当于一个正交滤波器

求频域特性：

由上式可以看出，希尔伯特变换对所有的正频率分量移相-90，对所有的负频率分量移相+90，相当于一个正交滤波器，但幅度并没有改变。

3.求包络

构造解析信号，目的是把实信号变成复信号，令原信号作为实部，经过希尔伯特变换后的信号作为虚部，得到：
此信号就是1中最后推出的信号。
一个信号既有幅度信息，又有相位信息，所以可设
代入解析信号：

ⅇ^(jω_0 t)为复载波信号，A(t)*exp(jɵ(t))为复包络。

解析信号取绝对值就是我们要的包络信号。