商汤2018.9.7笔试 台阶问题

#问题描述
一层楼共有n级台阶，一次可以上至少1级但不超过m级台阶，求有多少种不同的上楼方案数。由于结果可能很大，你只需要输出结果对10007取模的值即可
输入：
一行，正整数n和m
输出：
一个整数，对10007取模的结果
样例输入1：
4 3
样例输出1：
7
样例输入2：
1024 5
样例输出2：
8590
提示：
先认为m总是等于n的，那么：
当n=3时，有4种方案：

当n=4时，有8种方案：

当n=5时，有16种方案：

#思路
整体思路是斐波那契数列，但是和常见的爬楼梯问题不一样，常见爬楼梯问题是：每次只可以排1级台阶或者2级台阶，递推公式是F(n)=F(n-1)+F(n-2);F（1）=1，F（2 ）=2；其形式和斐波那契数列是一样的（递推公式后面是两项）。
而此题是可以最多爬m级台阶（递归公式后面是m项）。

分析测试用例，n很大，得到的结果如果不取模就更大（大得多），但m很小。

按照提示，写出m=3,4,5，n=5情况下的方案数（注意这里不是递推，而是在提示里按照m大小数方案）：

观察上面方案数，发现如果再加个f(0)=1，使用递推式，f(n)=f(n-1)+f(n-2)+…+f(n-m)，就可以得到递推式了。

再以m=3为例，f(3)=f(0)+f(1)+f(2)，f(4)=f(1)+f(2)+f(3)，以此类推，验证了正确性。
需要注意：初始条件只有f(0)=1 f(1)=1 f(2)=2就够了，但是当m>=4的时候，递归式的后面有4项或者更多。比如当m=4时，计算f(3)时只能f(3) = f(0)+f(1)+f(2)，虽然都说了m=4所以递推式后面有4项但这里却只有3项用来计算，但f(3)前面只有3项啊，所以就把能加的加起来。
但这点在实际编程没有影响，因为出现这种情况，只是多加几个0.（详见滚动数组分析）

再来讲优化：
1.存储数组大小：一般情况，数组大小需要是n+1大小的，但考虑到n可能很大，所以我们需要使用滚动数组，滚动数组大小m即可，以m=3为例（索引从0到2），

发现使用m大小的滚动数组即可。

2.存储结果取余：递推式是累加的过程。所以每累加一次，就取余%10007，和把最终结果%10007是一样的，但前者就可以避免存储过大的数。
#代码
普通方法：没有上面两处优化。

n,m = map(int,input().split())
re  = [0]*(n+1)
re[0] = 1
re[1] = 1
re[2] = 2

if n==1:
    print(1)
elif n==2:
    if(m==1):
        print(1)
    else:
        print(2)
else:
    for i in range(3,n+1):
        for j in range(i-1,i-m-1,-1):
            re[i] += re[j]
    print(re[n]%10007)

这种方法在遇到大的n时就会很慢，以1024 5作为输入为例，实际结果为：

而且还需要申请1024大小的数组。

优化版本：

n,m = map(int,input().split())
re  = [0]*(m)#滚动数组，m个位置就够用
re[0] = 1
re[1] = 1
re[2] = 2

if n==1:
    print(1)
elif n==2:
    if(m==1):
        print(1)
    else:
        print(2)
else:
    for i in range(3,n+1):
        outer = i%m#指re中的索引
        for j in range(outer+1,outer+m):
            #递推式后面有m项，但内层循环只循环m-1次
            #因为是当前位置加上剩余的m-1项
            inner = j%m
            re[outer] = (re[outer] + re[inner])%10007
    print(re[n%m])