整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

题目描述：

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

 

思路分析：

类似于这样的题目，我们可以采用归纳法来解决问题。

个位上的1

我们知道个位上的1每隔10会出现一次，例如1,11,21等。如果以10为一个阶梯的话，那么每个阶梯就包含1个1.比如说32，它就可以划分为3个阶梯，0-9,10-19,20-29，每个阶梯里面个位数上1的个数为1。很明显，他还包含2这个不完整的阶梯。在这个不完整的阶梯里面判断是否有1，可以它的个位数是否小于1，如果小于1，就不包含1，反之，包含1个1.

我们可以归纳个位数上出现1的个数：

(n/10)*1 + (n%10>=1?1:0)

十位上的1

十位上出现1的情况应该是10-19，很明显，这些数中十位上的1出现了10次。10-19每隔100个数会出现一次，例如110-119,210-219等。所以我们划分100为1个阶梯，每个阶梯里1出现的个数为10.例如111，它包含一个完整的阶梯1-100，里面包含十个十位数上的1，还有不完整的阶梯，我们考虑不完整的阶梯中的数如果小于10，说明再没有十位上的1，如果大于19，说明十位上的1还有10个，如果在10到19之间，我们计算的结果应该是(n%10)-10+1.例如我们分析300-317，17个数字，1出现的个数应该是17-10+1=8个。

我们可以归纳十位数上出现1的个数

k = n%10

(n/100)*10 + (if(k<10) 0 else if(k>19) 10 else (k-10+1))

百位上的1

百位上出现1的情况应该是100-199，里面包含100个百位上的1。100-199每隔1000会出现1次，那么阶梯为1000.例如2139。跟上述思想一致，先算阶梯数 * 完整阶梯中1在百位出现的个数，即n/1000 * 100得到前两个阶梯中1的个数，那么再算漏出来的部分139，沿用上述思想，不完整阶梯数k199，得到100个百位1，100<=k<=199则得到k - 100 + 1个百位1。

我们可以归纳百位数上出现1的次数

k = n % 1000

(n / 1000) * 100 + (if(k >199) 100 else if(k < 100) 0 else k - 100 + 1)

 到了这里，已经能看出它的规律了。

设i为计算1所在的位数，i=1表示计算个位数的1的个数，10表示计算十位数的1的个数等等。

k = n % (i * 10)

count(i) = (n / (i * 10)) * i + (if(k > i * 2 - 1) i else if(k < i) 0 else k - i + 1)

好了，到了这里从10到10的n次方的归纳就完成了。

sum1 = sum(count(i))，i = Math.pow(10, j), 0<=j<=log10(n)

 

代码

public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        if(n <= 0){
            return 0;
        }
        int count = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i*=10){
            int a = n/(i*10) * i;  //完整阶梯的部分
            int k = n%(i*10);  //不完整阶梯的部分
            if(k < i){
                a += 0;
            }else if(k > (i*2-1)){
                a += i;
            }else{
                a += (k-i+1);
            }
            count += a;
        }
        return count;
    }
}