Octave 入门教程：矩阵
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本内容将介绍 Octave 中的矩阵的创建、引用及相关运算。
一、矩阵
1.1 创建矩阵
在 Octave 中创建矩阵有以下规则：
- 矩阵元素必须在
[]内； - 矩阵的同行元素之间用空格或逗号（
,）分隔； - 矩阵的行与行之间用分号（
;）分隔； - 矩阵的元素可以是数值、变量、表达式或函数；
- 矩阵的尺寸不必预先定义。
下面的例子中创建了一个 4x5 的矩阵：
>>a = [1,2,3,4; 2,3,4,5; 3,4,5,6]
a =
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
>>
通过复制一个矩阵的元素创建一个新的矩阵：
>> a = [1,2,3,4; 2,3,4,5; 3,4,5,6];
>> b = a([2,3,2,3], :) % 复制矩阵 a 的第 2 和 3 行两次来创建新的矩阵 b
b =
2 3 4 5
3 4 5 6
2 3 4 5
3 4 5 6
>>
除了上面的直接输入创建矩阵外，还可以使用***创建特殊数组的函数***创建矩阵，详见请参照这里。
1.2 引用矩阵的元素
| 方法 | 描述 |
|---|---|
| a(m, n) | 引用矩阵 a 的第 m 行和第 n 列的元素（索引值从 1 开始） |
| a(m, : ) | 引用矩阵 a 的第 m 行的所有元素 |
| a(m1:m2, ) | 引用矩阵 a 的第 m1 行到 m2 行的所有元素 |
| a(:, n) | 引用矩阵 a 的第 n 列中的所有元素 |
| a(:, n1:n2) | 引用矩阵 a 的第 n1 列到 n2 列的所有元素 |
| a(:, : ) | 引用矩阵 a 的所有元素 |
例如：
>>a = [1,2,3,4; 2,3,4,5; 3,4,5,6];
>>a(3,4)
ans = 6
>>a(2,:)
ans =
2 3 4 5
>>a(2:3, :)
ans =
2 3 4 5
3 4 5 6
>>a(:, 2)
ans =
2
3
4
>>a(:, 2:4)
ans =
2 3 4
3 4 5
4 5 6
>>a(2:3, 2:4)
ans =
3 4 5
4 5 6
>>a(:, :)
ans =
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
>>
1.3 删除矩阵中的行或列
通过向某行或某列分配一组空的方括号 [] 来删除矩阵的整行或列。
例如：
>> a = [1,2,3,4; 2,3,4,5; 3,4,5,6]
a =
1 2 3 4
2 3 4 5
3 4 5 6
>> a(2, :) = [] % 删除第 2 行
a =
1 2 3 4
3 4 5 6
>> a(:, 3) = [] % 删除第 3 列
a =
1 2 4
3 4 6
>>
1.4 矩阵运算
1.4.1 矩阵的加减法
当两个矩阵进行加减法时，这两个矩阵必须具有相同数量的行和列，并且具有相同的元素。矩阵加减法产生相同类型的矩阵，原始矩阵的每个元素逐一进行加减法。
例如：
>> a = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9];
>> b = [15, 13, 11; 9,7,5; 3,1,1];
>> c = a + b
c =
16 15 14
13 12 11
10 9 10
>> d = b - a
d =
14 11 8
5 2 -1
-4 -7 -8
>>
1.4.2 矩阵的除法
Octave 中两种矩阵除法符号，即左除（\）和右除（/）。两个矩阵必须具有相同数量的行和列。
1.4.3 矩阵的标量运算
当矩阵相加、相减、相乘或相除一个数组时，被称为标量运算。
标量运算产生一个具有相同数量的行与列的新矩阵，其原始矩阵的每个元素都相加、相减、乘以或除以数字。
例如：
>> a = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9];
>> b = 2;
>> c = a + b
c =
3 4 5
6 7 8
9 10 11
>> d = a - b
d =
-1 0 1
2 3 4
5 6 7
>> e = a * b
e =
2 4 6
8 10 12
14 16 18
>> f = a / b
f =
0.50000 1.00000 1.50000
2.00000 2.50000 3.00000
3.50000 4.00000 4.50000
>>
1.4.4 矩阵的转置
矩阵的转置切换矩阵的行和列。在 Octave 中使用单引号（'）表示。
例如：
>> a = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9]
a =
1 2 3
4 5 6
7 8 9
>> b = a'
b =
1 4 7
2 5 8
3 6 9
>>
1.4.5 矩阵连接
可以连接两个矩阵来创建一个新矩阵。使用中括号（[]，连接运算符）来实现。
Octave 允许以下两种类型的连接：
- 水平连接：使用逗号（
,）分隔两个矩阵，它们进行水平附加。 - 垂直连接：使用分号（
;）分隔两个矩阵，它们进行垂直附加。
例如：
>> a = [10,12,23; 14,8,6]
a =
10 12 23
14 8 6
>> b = [12,31,45; 8,0,9]
b =
12 31 45
8 0 9
>> c = [a, b]
c =
10 12 23 12 31 45
14 8 6 8 0 9
>> d = [a; b]
d =
10 12 23
14 8 6
12 31 45
8 0 9
>>
1.4.6 矩阵乘法
假设有两个矩阵 A（m*n） 和 B（n*p），则它们相乘可以产生一个 m*p 的新矩阵 C。只有当 A 中的列数 n 等于 B 中的函数 n 时，才能进行矩阵乘法。
所得的矩阵 C 中的（i,j）位置的元素值的求取步骤：
- 矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的第 j 行元素逐一相乘得到一个新的向量 d。
- 然后将得到的向量 d 的所有元素相加得到一个标量 f，标量 f 的值即矩阵 C 中的（i,j）位置的元素值。
例如：
>> a = [1,2,3; 4,5,6; 7,8,9];
>> b = [3,4; 5,6; 7,8];
>> c = a * b
c =
34 40
79 94
124 148
>>
1.4.7 矩阵的行列式
在 Octave 中使用 det 函数计算矩阵的行列式。矩阵 A 的行列式由 det() 计算。
1.4.8 逆矩阵
矩阵 A A A 的逆矩阵记为 A − 1 A^{-1} A−1，使得下面的关系成立：
A A − 1 = A − 1 = 1 AA^{-1}=A^{-1}=1 AA−1=A−1=1
并不是每个矩阵都有逆矩阵，如果一个矩阵的行列式为零，则不存在逆矩阵，这样的矩阵是奇异的。
在 Octave 中使用 inv 函数求逆矩阵。矩阵 A 的逆矩阵由 inv(A) 计算。
参考：
[1] https://www.w3cschool.cn/matlab/
[2] http://m.yiibai.com/matlab/