《大话数据结构》笔记——第7章 图（一）

7.1 开场白

略

7.2 图的定义

前面同学可能觉得树的术语好多，可来到了图，你就知道，什么才叫做真正的术语多。不过术语再多也是有规律可循的，让我们开始"图"世界的旅程。如图 7-2-1 所示，先来看定义。

图（Graph）是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为：G(V,E)，其中，G 表示一个图，V 是图 G 中顶点的集合，E 是图 G 中边的集合。

对于图的定义，我们需要明确几个注意的地方。

• 线性表中我们把数据元素叫元素，树中将数据元素叫结点，在图中数据元素，我们则称之为顶点（Vertex）。
• 线性表中可以没有数据元素，称为空表。树中可以没有结点，叫做空树。那么对于图呢？同样，在图结构中，不允许没有顶点。在定义中，若 V 是顶点的集合，则强调了顶点集合 V 有穷非空。
• 线性表中，相邻的数据元素之间具有线性关系，树结构中，相邻两层的结点具有层次关系，而图中，任意两个顶点之间都可能有关系，顶点之间的逻辑关系用边来表示，边集可以是空的。

7.2.1 各种图定义

无向边：若顶点 vi 到 vj 之间的边没有方向，则称这条边为无向边（Edge），用无序偶对 (vi,vj) 来表示。如果图中任意两个顶点之间的边都是无向边，则称该图为无向图(Undirected graphs)。图 7-2-2 就是一个无向图，由于是无方向的，连接顶点 A 与 D 的边，可以表示成无序对 (A,D)，也可以写成 (D,A)。

对于图 7-2-2 中的无向图 G1 来说，G1=(V1,{E1})，其中顶点集合 V1={A,B,C,D}; 边集合 E1={(A,B),(B,C),(C,D),(D,A),(A,C)}

有向边：若从顶点 vi 到 vj 的边有方向，则称这条边为有向边，也称为弧(Arc)。用有序偶 来表示，vi 称为弧尾(Tail)，vj 称为弧头（Head）。如果图中任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图（Directed grapha）。图 7-2-3 就是一个有向图。连接顶点 A 到 D 的有向边就是弧，A 是弧尾，D 是弧头， 表示弧，注意不能写成 。

对于图 7-2-3 中的有向图 G2 来说，G2=(V2,{E2})，其中顶点集合 V2={A,B,C,D}; 弧集合 E2={,,,}。

看清楚了，无向边用小括号"()“表示，而有向边则是用尖括号”<>"表示。

在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现，则称这样的图为简单图。我们课程里要讨论的都是简单图。显然图 7-2-4 中的两个图就不属于我们要讨论的范围。

在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。含有 n 个顶点的无向完全图有 n(n-1)/2 条边。比如图 7-2-5 就是无向完全图，因为每个顶点都要与除它以外的顶点连线，顶点 A 与 BCD 三个顶点连线，共有四个顶点，自然是 4x3，但由于顶点 A 与顶点 B 连线后，计算 B 与 A 连线就是重复，因此要整体除以 2，共有 6 条边。

在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。含有 n 个顶点的有向完全图有 n(n-1) 条边，如图 7-2-6 所示。

从这里也可以得到结论，对于具有 n 个顶点和 e 条边数的图，无向图 0<=e<=n(n-1)/2，有向图 0<=e<=n(n-1)。

有很少条边或弧的图称为稀疏图，反之称为稠密图。这里稀疏和稠密是模糊的概念，都是相对而言的。比如我去上海世博会那天，参观的人数差不多 50 万人，我个人感觉人数实在是太多，可以用稠密来形容。可后来听说，世博园里人数最多的一天达到了 103 万人，啊，50 万人是多么的稀疏呀。

有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权(Weight)。这些权可以表示从一个顶点到领一个订单的距离或耗费。这种带权的图通常称为网(Network)。图 7-2-7 就是一张带权的图，即标识中国四大城市的直线距离的网，此图中的权就是两地的距离。

假设有两个图 G=(V,{E}) 和 G’=(V‘,{E’})，如果 V‘⊆V 且 E’⊆E，则称 G’ 为 G 的子图（Subgraph）。例如图 7-2-8 带底纹的图均为左侧无向图和有向图的子图。

7.2.2 图的顶点与边间关系

对于无向图 G=(V,{E})，如果边 (v,v’)∈E，则称顶点 v 和 v’ 互为邻接点（Adjacent），即 v 和 v’ 相邻接。边 (v,v’) 依附（incident）于顶点 v 和 v’，或者说 (v,v’) 与顶点 v 和 v’ 相关联。顶点 v 的度（Degree）是和 v 相关联的边的数目，记为 TD(v)。例如图 7-2-8 左侧上方的无向图，顶点 A 与 B 互为邻接点，边 (A,B) 依附于顶点 A 与 B 上，顶点 A 的度为 3。而此图的边数是 5，各个顶点度的和 =2+3+2=10，推敲后发现，边数其实就是各顶点度数和的一半，多出的一半是因为重复两次计数。简记之，
$$e=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^{n}TD(vi)$$

对于有向图 G=(V,{E})，如果弧 ∈E，则称顶点 v 邻接到顶点 v’，顶点 v’ 邻接自顶点 v。弧 和顶点 v,v’ 相关联。以顶点 v 为头的弧的数目称为 v 的入度(InDegree)，记为 ID(v); 以 v 为尾的弧的数目称为 v 的出度(OutDegree)，记为 OD(v); 顶点 v 的度为 TD(v)=ID(v)+OD(v)。例如图 7-2-8 左侧下方的有向图，顶点 A 的入度是 2（从 B 到 A 的弧，从 C 到 A 的弧），出度是 1（从 A 到 D 的弧），所以顶点 A 的度为 2+1=3。此有向图的弧有四条，而各顶点的出度和 =1+2+1+0=4，各顶点的入度和 =2+0+1+1=4。所以得到，
$$e=\sum _{i=1}^{n}ID(vi)=\sum _{i=1}^{n}OD(vi)$$
无向图 G=(V,{E}) 中从顶点 v 到顶点 v’ 的路径（Path）是一个顶点序列 (v=v(i,0),v(i,1),…,v(i,m)=v’)，其中 (v(i,j-1),v(i,j))∈E，1<=j<=m。例如图 7-2-9 中就列举了顶点 B 到顶点 D 的四种不同的路径。

如果 G 是有向图，则路径也是有向的，顶点序列应满足 ∈E，i<=j<=m。例如图 7-2-10，顶点 B 到 D 有两种路径。而顶点 A 到 B，就不存在路径。

树中根结点到任意结点的路径是唯一的，但是图中顶点与顶点之间的路径却是不唯一的。

路径的长度是路径上的边或弧的数目。图 7-2-9 中的上方两条路径长度为 2，下方两条路径长度为 3。图 7-2-10 左侧路径长为 2，右侧路径长度为 3。

第一个顶点到最后一个顶点相同的路径称为回路或环(Cycle)。序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。除了第一个顶点和最后一个顶点之外，其余顶点不重复出现的回路，称为简单回路或简单环。图 7-2-11 中两个图的粗线都构成环，左侧的环因第一个顶点和最后一个顶点都是 B，且 C，D，A 没有重复出现，因此是一个简单的环。而右侧的环，由于顶点 C 的重复，它就不是简单环了。

7.2.3 连通图相关术语

在无向图 G 中，如果从顶点 v 到顶点 v’ 有路径，则称 v 和 v’ 是连通的。如果对于图中任意两个顶点 vi，vj∈E，vi 和 vj 都是连通的，则称 G 是连通图(Connected Graph)。图 7-2-12 的图 1，它的顶点 A 到顶点 B、C、D都是连通的，但显然顶点 A 与顶点 E 或 F 就无路径，因此不能算是连通图。而图 7-2-12 的图 2，顶点 A、B、C、D 相互都是连通的，所以它本身是连通图。

无向图中的极大连通子图称为连通分量。注意连通分量的概念，它强调：

• 要是子图；
• 子图要是连通的；
• 连通子图含有极大顶点数；
• 具有极大顶点数的连通子图包含依附于这些顶点的所有边。

图 7-2-12 的图 1 是一个无向非连通图。但是它有两个连通分量，即图 2 和图 3。而图 4，尽管是图 1 的子图，但是它却不满足连通子图的极大顶点数（图 2 满足）。因此它不是图 1 的无向图的连通分量。

在有向图 G 中，如果对于每一对 vi、vj∈V、vi != vj，从 vi 到 vj 和从 vj 到 vi 都存在路径，则称 G 是强连通图。有向图中的极大强连通子图称做有向图的强连通分量。例如图 7-2-13，图 1 并不是强连通图，因为顶点 A 到顶点 D 存在路径，而 D 到 A 就不存在。图 2 就是强连通图，而且显然图 2 是图 1 的极大强连通子图，即是它的强连通分量。

现在我们再来看连通图的生成树定义。

所谓的一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它含有图中全部的 n 个顶点，但只有足以构成一棵树的 n-1 条边。比如图 7-2-14 的图 1 是一普通图，但显然它不是生成树，当去掉两条构成环的边后，比如图 2 或图 3，就满足 n 个顶点 n-1 条边且连通的定义了。他们都是一棵生成树。从这里也可知道，如果一个图有 n 分顶点和小于 n-1 条边，则是非连通图，如果它多于 n-1 条边，必定构成一个环，因为这条边使得它依附的那两个顶点之间有了第二条路径。比如图 2 和图 3，随便加哪两顶点的边都将构成环。不过有 n-1 条边并不一定是生成树，比如图 4。

如果一个有向图恰有一个顶点的入度为 0，其余顶点的入度均为 1，则是一棵有向树。对有向树的理解比较容易，所谓入度为 0 其实就相当于树中的根结点，其余顶点入度为 1 就是说树的非根结点的双亲只有一个。一个有向图的生成森林由若干棵有向树组成，含有图中全部顶点，但只有足以构成若干棵不相交的有向树的弧。如图 7-2-15 的图 1 是一棵有向图。去掉一些弧后，它可以分解为两棵有向树，如图 2 和图 3，这两棵就是图 1 有向图的生成森林。

7.2.4 图的定义与术语总结

术语终于介绍得差不多了，可能有不少同学有些头晕，我们再来整理一下。

图按照有无方向分为无向图和有向图。无向图由顶点和边构成，有向图由顶点和弧构成。弧有弧尾和弧头之分。

图按照边或弧的多少分稀疏图和稠密图。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。

图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。

图上的边或弧上带权则称为网。

图中顶点间存在路径，两顶点存在路径则说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环，当中不重复叫做简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连通图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。

无向图中连通且 n 个顶点 n-1 条边叫生成树。有向图中一顶点入度为 0 其余顶点入度为 1 的叫有向树。一个有向图由若干棵有向树构成生成森林。

7.3 图的抽象数据类型

图作为一种数据结构，它的抽象数据类型带有自己特点，正因为它的复杂，运用广泛，使得不同的应用需要不同的运算集合，构成不同的抽象数据操作。我们这里就来看看图的基本操作。

ADT 图（Graph）
Data
	定点的有穷非空集合和边的集合。
Operation
	CreateGraph(*G,V,VR)：按照顶点集 V 和边弧集 VR 的定义构造图 G。
	DestoryGraph(*G)：图 G 存在则销毁。
	LocateVex(G,v)：若图 G 中存在顶点 u ，则返回图中的位置。
	GetVex(G,v)：返回图 G 中顶点 v 的值。
	PutVex(G, v, value)：返回图 G 中顶点 v 赋值 value 。
	FirstAdjVex(G,*v)：返回顶点 v 的一个邻接顶点，
					若顶点在 G 中无邻接顶点返回空。
	NextAdjVex(G,v,*w)：返回顶点 v 相对于顶点 w 的下一个邻接顶点，
					若 w 是 v 的最后一个邻接点则返回“空”。
	InsertVex(*G,v)：在图 G 中增添新顶点 v 。
	DeleteVex(*G,v)：删除图 G 中顶点 v 及其相关的弧。
	InsertArc(*G,v,w)：在图 G 中增添  ，若 G 是无向图，
					还需要增添对称弧  。
	DeleteArc(*G,v,w)：在图 G 中删除  ，若 G 是无向图，
					则还删除对称弧  。 
	DFSTraverse(G)：对图 G 中进行深度优先遍历，在遍历过程对每个顶点调用。
	HFSTraverse(G)：对图 G 中进行广度优先遍历，在遍历过程对每个顶点调用。
endADT

7.4 图的存储结构

对于图来说，如何对它实现物理存储是个难题，不过我们的前辈们已经解决了，现在我们来看前辈们提供的五种不同的存储结构。

7.4.1 邻接矩阵

图的邻接矩阵(Adjacency Matrix)存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组(称为邻接矩阵)存储图中的边或弧的信息。

设图 G 有 n 个顶点，则邻接矩阵是一个 n*n 的方阵，定义为：

我们来看一个实例，图 7-4-2 的左图就是一个无向图。

我们可以设置两个数组，顶点数组为 vertex[4]={v0,v1,v2,v3}，边数组 arc[4][4] 为图 7-4-2 右图这样的一个矩阵。简单解释一下，对于矩阵的主对角线的值，即 arc[0][0]、arc[1][1]、arc[2][2]、arc[3][3]，全为 0 是因为不存在顶点到自身的边，比如 v0 到 v0。arc[0][1]=1 是因为 v0 到 v1 的边存在，而 arc[1][3]=0 是因为 v1 到 v3 的边不存在。并且由于是无向图，v1 到 v3 的边不存在，意味着 v3 到 v1 的边也不存在。所以无向图的边数组是一个对称矩阵。

嗯？对称矩阵是什么？忘记了不要紧，复习一下。所谓对称矩阵就是 n 阶矩阵的元满足 a(ij)=a(ji),(0<=i,j<=n)。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元与左下角相对应的元全都是相等的。

有了这个矩阵，我们就可以很容易地知道图中的信息。

1. 我们要判定任意两顶点是否有边无边就非常容易了。
2. 我们要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点 vi 在邻接矩阵中第 i 行（或第 i 列）的元素之和。比如顶点 v1 的度就是 1+0+1+0=2。
3. 求顶点 vi 的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j] 为 1 就是邻接点。

我们再来看一个有向图样例，如图 7-4-3 所示的左图。

顶点数组为 vrtex[4]={v0,v1,v2,v3}，弧数组 arc[4][4] 为图 7-4-3 右图这样的一个矩阵。主对角线上数值依然为 0。但因为是有向图，所以此矩阵并不对称，比如有 v1 到 v0 有弧，得到 arc[1][0]=1，而 v0 到 v1 没有弧，因此 arc[0][1]=0。

有向图讲究入度与出度，顶点 v1 的入度为 1，正好是第 v1 列各数之和。顶点 v1 的出度为 2，即第 v1 行的各数之和。

与无向图同样的办法，判断顶点 vi 到 vj 是否存在弧，只需要查找矩阵中 arc[i][j] 是否为 1 即可。要求 vi 的所有邻接点就是将矩阵第 i 行元素扫描一遍，查找arc[i][j] 为 1 的顶点。

在图的术语中，我们提到了网的概念，也就是每条边上带有权的图叫做网。那么这些权值就需要存下来，如何处理这个矩阵来适应这个需求呢？我们有办法。

设图 G 是网图，有 n 个顶点，则邻接矩阵是一个 n*n 的方阵，定义为：

这里 W(ij) 表示 (Vi,Vj) 或 上的权值。∞ 表示一个计算机允许的，大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。有同学会问，为什么不是 0 呢？原因在于权值 W(i,j) 大多数情况下是正值，但个别时候可能就是 0，甚至有可能是负值。因此必须要用一个不可能的值来代表不存在。如图 7-4-4 左图就是一个有向网图，右图就是它的邻接矩阵。

那么邻接矩阵是如何实现图的创建的呢？我们先来看看图的邻接矩阵存储的结构是，代码如下。

typedef char VertexType;	/*顶点类型应由用户定义*/
typedef int EdgeType;		/*边上的权值类型应由用户定义*/
#define MAXVEX 100			/*最大顶点数，应由用户定义*/
#define INFINITY 65535		/*用65535来代表∞ */
typedef struct 
{
	VertexType vexs[MAXVEX];		/*顶点表*/
	EdgeType arc[MAXVEX][MAXVEX];	/*邻接矩阵，可看作边表*/
	int numVertexes, numEdges;		/*图中当前的顶点数和边数*/
}MGraph;

有了这个结构定义，我们构造一个图，其实就是给顶点表和边表输入数据的过程。我们来看看无向网图的创建代码：

/* 建立无向网图的邻接矩阵表示 */
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
	int i, j, k, w;
	printf("输入顶点树数和边数：\n");
	scanf("%d, %d", &G->numVertexes, &G->numEdges);/*输入顶点数和边数 */
	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++) /* 读入顶点信息，建立顶点表 */
	{
		scanf(&G->vexs[i]);
	}
	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)
	{
		for (j = 0; j < G->numVertexes; j++)
		{
			G->arc[i][j] = INFINITY; /* 邻接矩阵初始化 */
		}
	}
	for (k = 0; k < G->numEdges; k++) /*读入 numEdges 条边，建立邻接矩阵 */
	{
		printf("输入边（vi,vj )上的下标i,下标j和权w：\n");
		scanf("%d，*d, %d", &i, &j, &w); /* 输入边（vi,vj)上的权w */
		G->arc[i][j] = w;
		G->arc[j][i] = G->arc[i][j]; /* 因为是无向图，矩阵对称 */
	}
}

从代码中也可以得到，n 个顶点和 e 条边的无向网图的创建，时间复杂度为 O(n^2+n+e)，其中对邻接矩阵的初始化耗费了 O(n^2) 的时间。

7.4.2 邻接表

邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是我们也发现，对于边数相对顶点较少的图，这种结构是存在对存储空间的极大浪费的。比如说，如果我们要处理图 7-4-5 这样的稀疏有向图，邻接矩阵中除了 arc[1][0] 有权值外，没有其他弧，其实这些存储空间都浪费掉了。

因此我们考虑另外一种存储结构方式。回忆我们在线性表时谈到，顺序存储结构就存在预先分配内存可能造成存储空间浪费的问题，于是引出了链式存储的结构。同样的，我们也可以考虑对边或弧使用链式存储的方式来避免空间浪费的问题。

再回忆我们在树中谈存储结构时，讲到了一种孩子表示法，将结点存入数组，并对结点的孩子进行链式存储，不管有多少孩子，也不会存在空间浪费问题。这个思路同样适用于图的存储。我们把这种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表(Adjacency List)。

邻接表的处理办法是这样。

1. 图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易地读取顶点信息，更加方便。另外，对于顶点数组中，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息。
2. 图中每个顶点 vi 的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以用单链表存储，无向图称为顶点 vi 的边表，有向图则称为顶点 vi 作为弧尾的出边表。

例如图 7-4-6 所示的就是一个无向图的邻接表结构。

从图中我们知道，顶点表的各个结点由 data 和 firstege 两个域表示，data 是数据域，存储顶点的信息，firstege 是指针域。指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点有 adjvex 和 next 两个域组成。adjvex 是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next 则存储指向边表中下一个结点的指针。比如 v1 顶点与 v0、v2 互为邻接点，则在 v1 的边表中，adjvex 分别为 v0 的 0 和 v2 的 2。

这样的结构，对于我们要获得图的相关信息也是很方便的。比如我们要想知道某个顶点的度，就去查找这个顶点的边表中结点的个数。若要判断顶点 vi 到 vj 是否存在边，只需要测试顶点 vi 的边表中 adjvex 是否存在结点 vj 的下标 j 就行了。若求顶点的所有邻接点，其实就是对此顶点的边表进行遍历，得到的 adjvex 域对应的顶点就是邻接点。

若是有向图，邻接表结构是类似的，比如图 7-4-7 中第一幅图的邻接表就是第二幅图。但要注意的是有向图由于有方向，我们是以顶点为弧尾来存储边表的，这样很容易就可以得到每个顶点的出度。但也有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧，我们可以建立一个有向图的逆邻接表，即对每个顶点 vi 都建立一个链接为 vi 为弧头的表。如图 7-4-7 的第三幅图所示。

此时我们很统一就可以算出某个顶点的入度或出度是多少，判断两顶点是否存在弧也很容易实现。

对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个 weight 的数据域，存储权值信息即可，如图 7-4-8 所示。

有了这些结构图，下面关于结点定义的代码就很好理解了。

typedef char VertexType;	/*顶点类型应由用户定义*/ 
typedef int EdgeType;		/*边上的权值类型应由用户定义*/
#define MAXVEX 100		/*最大顶点数，应由用户定义*/
 
typedef struct EdgeNode		/* 边表结点 */
{
	int adjvex;		/*邻接点域，存储该顶点对应的下标*/
	EdgeType weight;	/*用于存储权值，对于非网图可以不需要*/ 
	struct EdgeNode *next;	/*链域，指向下一个邻接点*/
}EdgeNode;
 
typedef struct VertexNode /* 顶点表结点 */
{
	VertexType data;	/*顶点域，存储顶点信息*/ 
	EdgeNode *firstedge;	/*边表头指针*/
}VertexNode, AdjList[MAXVEX];
 
typedef struct
{
	AdjList adjList;
	int numVertexes，numEdges; /*图中当前顶点数和边数*/
}GraphAdjList;

对于邻接表的创建，也就是顺理成章之事。无向图的邻接表创建代码如下。

/*建立图的邻接表结构*/
void CreateALGraph (GraphAdjList *G )
{
	int i,j,k;
	EdgeNode *e;
	printf ("输入顶点数和边数：\n");
	scanf("%d,%d", &G->numVertexes, &G->numEdges);	/* 输入顶点数和边数 */
	for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)	/*读入顶点信息，建立顶点表 */
	{
		scanf(&G->adjList[i].data);			/*输入顶点信息 */
		G->adjList[i].firstedge = NULL;		/*将边表置为空表*/
	}
	for (k = 0; k < G->numEdges; k++)	/* 建立边表 */
	{
		printf("输入边（vi, vj)上的顶点序号：\n");
		scanf("%d,%d", &i, &j);		/* 输入边（Vi,Vj)上的顶点序号 */
		/*加粗开始*/
		e = (EdgeNode *)malloc(sizeof (EdgeNode));/*向内存申请空间，生成边表结点*/
		e->adjvex = j;	/* 邻接序号为 j */
		e->next = G->adjList[i].firstedge;	/*将 e 指针指向当前顶点指向的结点*/ 
		G->adjList[i].firstedge = e; /* 将当前顶点的指针指向 e */
		e = (EdgeNode *)malloc(sizeof (EdgeNode)); /*向内存申请空间，生成边表结点*/
		e->adjvex = i;	/* 邻接序号为 i */
		e->next = G->adjList[j].firstedge;/*将 e 指针指向当前顶点指向的结点*/ 
		G->adjList[j].firstedge = e; /*将当前顶点的指针指向 e */
		/*加粗结束*/
	}
}

这里加粗代码，是应用了我们在单链表创建中讲解到的头插法，由于对于无向图，一条边对应都是两个顶点，所以在循环中，一次就针对 i 和 j 分别进行了插入。本算法的时间复杂度，对于 n 个顶点 e 条边来说，很容易得出是 O(n+e)。

7.4.3 十字链表

对于有向图来说，邻接表是有缺陷的。关心了出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才能知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度的情况。有没有可能把邻接表与逆邻接表结合起来呢？答案是肯定的，就是把它们整合在一起。这就是有向图的一种存储方法：十字链表（Orthogonal List）。

重新定义顶点表结点结构如表 7-4-1 所示。

其中 firstin 表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点，firstout 表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点。

重新定义的边表结点结构如表 7-4-2 所示。

其中 tailvex 是指弧起点在顶点表的下标，headvex 是指弧终点在顶点表中的下标，headlink 是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边，taillink 是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。如果是网，还可以再增加一个 weight 域来存储权值。

比如图 7-4-10，顶点依然是存入一个一维数组 {v0,v1,v2,v3}，实线箭头指针的图示完全与图 7-4-7 的邻接表相同。就以顶点 v0 来说，firstout 指向的是出边表中的第一个结点 v3。所以 v0 边表结点的 headvex=3，而 tailvex 其实就是当前顶点 v0 的下标 0，由于 v0 只有一个出边顶点，所以 headlink 和 taillink 都是空。

我们重点需要解释虚线箭头的含义，它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于 v0 来说，它有两个顶点 v1 和 v2 的入边。因此 v0 的 firstin 指向顶点 v1 的边表节点中 headvex 为 0 的节点，如上图中的 ①。接着由入边节点的 headlink 指向下一个边顶点 v2，如上图的 ②。对于顶点 v1，它有一个入边顶点 v2，所以它的 firstin 指向顶点 v2 的边表节点中 headvex 为 1 的节点，如图中的 ③。顶点 v2 和 v3 也是同样有一个入边顶点，如图中 ④ 和 ⑤ 。

十字链表的好处是因为把邻接表和逆邻接表整合在了一起，这样容易找到以 vi 为尾的弧，也容易找到以 vi 为头的弧，因而容易求得顶点的出度和入度。而且它除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度和邻接表示相同的，因此在有向图的应用中，十字链表是非常好的数据结构模型。

7.4.4 邻接多重表

讲了有向图的优化存储结构，对于无向图的邻接表有没有问题呢？如果我们在无向图的应用中，关注的重点是顶点，那么邻接表是不错的选择，但如果我们更关注边的操作，比如对已访问过的边做标记，删除某一条边等操作，那就意味着，需要找到这条边的两个边表结点进行操作，这其实还是比较麻烦的。比如图 7-4-11，若要删除左图的 (v0,v2) 这条边，需要对邻接表结构中右边表的阴影两个结点进行删除操作，显然这是比较烦琐的。

因此，我们也仿照十字链表的方式，对边表结点的结构进行一些改造，也许就可以避免刚才提到的问题。

重新定义的边表结点结构如表 7-4-3 所示：

其中 ivex 和 jvex 是与某条边依附的两个顶点在顶点表中下标。ilink 指向依附顶点 ivex 的下一条边，jlink 指向依附顶点 jvex 的下一条边。这就是邻接多重表结构。

我们来看结构示意图的绘制过程，理解了它是如何连线的，也就理解邻接多重表构造原理了。如图 7-4-12 所示，左图告诉我们它有 4 个顶点和 5 条边，显然，我们就应该先将 4 个顶点和 5 条边的边表结点画出来。由于是无向图，所以 ivex 是 0 、 jvex 是 1 还是反过来都是无所谓的，不过为了绘图方便，都将 ivex 值设置得与一旁的顶点下标相同。

我们开始连线，如图 7-4-13。首先连线的 ①②③④ 就是将顶点的 firstedge 指向一条边，顶点下标要与 ivex 的值相同，这很好理解。接着，由于顶点 v0 的 (v0,v1) 边的邻边有 (v0,v3) 和 (v0,v2) 。因此 ⑤⑥ 的连线就是满足指向下一条依附于顶点 v0 的边的目标，注意 ilink 指向的结点的 jvex —定要和它本身的 ivex 的值相同。同样的道理，连线 ⑦ 就是指 (v1,v0) 这条边，它是相当于顶点 v1 指向 (v1,v2) 边后的下一条。v2 有三条边依附，所以在 ③ 之后就有了 ⑧⑨ 。连线 ⑩ 的就是顶点 v3 在连线 ④ 之后的下一条边。左图一共有 5 条边，所以右图有 10 条连线，完全符合预期。

到这里，大家应该可以明白，邻接多重表与邻接表的差别，仅仅是在于同一条边在邻接表中用两个结点表示，而在邻接多重表中只有一个结点。这样对边的操作就方便多了，若要删除左图的 (v0,v2) 这条边，只需要将右图的 ⑥⑨ 的链接指向改为 ∧ 即可。

7.4.5 边集数组

边集数组是由两个一维数组构成。一个是存储顶点的信息；另一个是存储边的信息，这个边数组每个数据元素由一条边的起点下标（begin）、终点下标（end）和权（weight）组成，如图 7-4-14 所示。显然边集数组关注的是边的集合，在边集数组中要查找一个顶点的度需要扫描整个边数组，效率并不高。因此它更适合对边依次进行处理的操作，而不适合对顶点相关的操作。

定义的边数组结构如表 7-4-4 所示：

其中 begin 是存储起点下标，end 是存储终点下标，weight 是存储权值。