每天一个TopCoder算法题（16.08.08）

这个题目来自TopCoder SRM536 250分的题目

原题

srm536_250.png

题意

有一些公司，每个公司都有一个权值，多个公司可以合并成一个公司，合并后的权值为(r0 + r1 + r2 .. + rn) / n。例如，一个3， 4, 5 的公司合并后的结果是4， 一个-2， -7的公司合并的结果是-4.5。现在问题是问这些公司经过多次合并，最后的公司的权值最大是多少，例如3,4,5可以先3,4合并，变成3.5再3.5跟5合并，变成4.25.

思考

这个题目，我们很容易就能想到，最大的公司一定要最后合并，然后是次大的公司，然后。。于是我们需要从小到大排序。然后我们来看看2合并做两次合并大还是3个一块合并大。我们假设a

公式.png

所以这个题目的解法就是将权值从小到大排序，然后开始合并。(1,2)合并结果跟3，((1,2),3)合并结果再跟4。。
我的天，我们竟然靠蒙的方法把这个题目给蒙对了。。。
当然，我们最科学的解法并不是这样的。
我们假设公司A是由a0,a1..ap合并而成，A的价值为x， 公司B是由b0,b1,bq合并而成，价值为y。假设a0是里面最大的一个公司，那么，如果A剔除a0，最后再和a0进行合并，如果结果更大，那么满足如下公式：

x + y <= a0 + (px + qy - a0) / (p + q - 1) 

等价于

(x + y) ((p + q - 1) / (p + q - 1)) <= (px + qy) / (p + q - 1) + a0((p + q - 2) / (p + q - 1)) 

化简可得

x(q - 1) + y(p - 1) <= a0(p - 1) + a0（q - 1）

因为a0 > x 且 a0 > y，所以条件成立。