傅里叶变换与小波分析

从毕设中期答辩以后，本人开始着力于信号处理方面知识的学习，这里面的玄机确实说不清道不明，剪不断理还乱。
在学习过程中，发现很多值得去探索和分析的地方，而且好多前辈都很无私的分享了。
愚目的很简单：就是想把这阶段所学的知识整理整理思路，希望能得到大神指点。
这阶段学习的思路：（希望今后能把这些板块都 补齐）
- 傅里叶变换和小波分析
- 小波分析的应用
- EMD算法
- 图像识别
- 轴承故障诊断方法研究
- 声发射法AE
- 负压波故障诊断
- 字典学习

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傅里叶变换与小波分析

1.1傅里叶变换
先说说经典的傅里叶变换和逆变换：

可以看出，F（W）实际上是对原信号f(t)做了频谱分析。即f（t）是时间域的表达，F（w）是频率域的表达。
这些都比较简单，大家可以翻下书，再看看傅里叶变换的基本性质:
- 线性性质

- 位移性质

- 频移性质

- 卷积定理

- 对称性

- 能量积分

大家别看这些公式望而生畏，确实就是傅里叶变换公式的推导，所以，不懂或者记不住都无所谓。问我之所以先将傅里叶变换的基本性质摆出来，是让大家能回忆起曾经学过的最基本的知识。百度百度傅里叶的历史，怎么来的，整个过程是怎么发展的。这些都能使得我们更好地理解小波的出现和发展的整个过程。

最后，贴一张图说明傅里叶变换能做什么，很清楚，两个时间域的混合信号在频率域一下把特性反应出来了，一目了然。提醒：接下来的小波变换的优势就是体现在它能反映出很多信号在时间域所不能观察到的信息和特性。这些特性应用范围很广，不用多说，大家一百度就知道了。

1.2短时傅里叶变换

上图很明显反映傅里叶变换的一个缺点：就是如果我想知道，第二列的图是什么时候从高频变到窄频，此时它是做不到的。发现没有，传统的傅里叶变换有个问题：就是时间域的分析和频率域的分析是完全分开的。也就是说，傅里叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时间域不存在这种能力。有什么办法能把时间域和频率域联系起来呢？有！

看，相比标准傅里叶变换，多加了一个‘时间窗函数’。
咱们可以这样理解此公式的意义：S（w，t）大致反映了f（t）在时刻t、频率为w的时候，信号成分的相对大小。所谓时间窗的意思，可以理解为我重点关注的对象是这个信号在我这个窗口下的特征，而其他部分我暂时忽视，那么意义就变成时间和频率强行的联系在了一起，我此刻得到的频率那是时间窗在位置t时候的频率。这对实际信号的研究很有帮助。（ps：窗函数可以有不同类型，性质也不尽相同）

同样，短时傅里叶变换也满足上面的一些性质的公式推导，在这就不多提了。（百度）
短时傅里叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅里叶不具有的局部分析能力的缺陷，单它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数确定后，窗口的类型和范围也就确定了，即使你怎么移动，它都不会放大缩小。这是关键，也就是说，理应我们观察信号的时候，高频信号（含的信息比较密），那我们应该选择窗口比较窄；低频信号（含的信息比较密），那我们应该选择窗口比较宽。但短时傅里叶不能判断这一点，窗口大小也不会跟着信号频率调整。

1.3小波分析
Ok，终于引出小波分析来了。当然，小波分析能解决上面那个问题。最近在看奇葩说，里面马东一句话：低维度的生物永远理解不了高维度生物在干神马。直线肯定理解不了平面，平面也理解不了空间。
最近知识学的越来越多，发现探索的理论也越来越深。其实，整体看下来，人类一直是在不断的向着高维事物去探索，在处于低维思维试图去理解和解释高维，用低维的理论去类比高维，对，我说的是类比。这应该是人类最聪明的学习能力。（废话，强行装一波逼。哈）
1.3.1小波发展的历史和应用
大致了解一下这些大牛，然后看下时间，你会发现小波大概也是80年代的产物。此时的产物还有神经网络、SVM等等。这些思想都是把信号从高维转到低维研究的。距离现在30年左右，悬念是这30年，又有哪些科学理论产物，又先进在哪，这也是我想把这阶段的学习写下来的目的。

1.3.2从短时傅里叶变换到小波变换

简单不！上面那个破公式就是前面说的短时傅里叶变换（STFT）,就是把那个窗函数 变成了 。唯一多了一个变量，也就是a，傻子都能想到，不就是解决了刚才说的那个窗口不能放大缩小的问题嘛！(下图呵呵，小波函数，尺度参数a改变，左边的大气点，右边的细致点，大气要用在大气的场合，细致的活才能用精细的工具干，（小波函数的类型也可以多种多样，那个矩形框haar小波算是最简单的一种）所以小波很大程度上在研究使用的场合问题)。因此，被被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。
刚才说a变成了变量。所以将窗函数里的a提取出来和w作为一个整体的参数（w/a）岂不是就能通过控制尺度参数（w/a）来控制窗口尺寸。哈！完美！
好了。接下来真正开始定义小波变换，其实就把小波函数转换一下形式。如下所示，紫色框内这样做是有物理含义的：想想以前高中学的变量t减去b就是时间向右偏移，a相当于整体放大或者缩小（在上文已经说明）。再在上面乘上个a-1/2保证做这样变换之后还是一个即向量，可以理解为还是单位向量。

当然还有小波变换的逆变换:

还有些小波基本的概念:
①互尺度谱

②小波能谱和互谱
(ps：知道有这个概念就行。)
顺嘴，还是提下小波变换分辨率的问题，还是我一直在提的a，b参数影响小波窗函数，从而影响到小波在应用时的条件选择。大家要时刻记住这一点，之后介绍的多分辨小波跟这些参数就有很大的关系。

1.3.3小波的基本理论
为了更好更全面的理解小波还是要借助数学公式加上物理含义的理解。我将很细致地演示一下过程，希望对完整的理解小波变换有帮助。（整个过程由于公式较为编译繁琐，故在纸上做演示）
①能量守恒（两个域之间转换能量不变）

②范数守恒（即转换到小波域长度没发生变化）：这说明一个道理，任何基于向量基的变化其实就是看这个向量的角度发生了改变，其实质的内涵没有变。（其实像哲学里的看问题的角度发生了变换，问题本身没有变，但理解问题的角度多了，针对问题的解决方法岂不是更多了，任何问题的解决办法只有最适合，没有最难）

③逆变换

我们定义为dadb/a2为测度。再来借小波变换的逆变换加深一下对小波在实际过程中去噪的功能：
很简单说明，实际过程中可以把信号先转化到 小波域；get到了吗?因为是实际情况，它肯定有误差，如果我们知道误差的分布，那么，哈哈，就可以调节a，误差越大的地方我把a调的越大，那么1/a2就使得该快成分很小；反之，越精确的地方我把a调的越小。

OK!其实基本的连续小波定理就这么些，已经介绍完了。但是，在工程实际应用的角度来说，这公式还使我的问题变得更复杂了（原来是时间域的一维信号，现在变成了a，b两个参数的二维信号，似不傻）。再次用哲学的观点来解释，一维变到二维，包含的信息或者说事物的性质很多是我们未知的需要探索的宝藏，新观点也更多了，但同时问题也变得跟复杂了。人类聪明的地方在于，把问题弄复杂之后还能总结提炼，对问题做情况限制，再提炼到一维或者接近一维，是不是对问题的理解上到了一个新的高度。哈哈哈!牛逼!

所以，接下来的工作就是简化，然后简化后的小波再套入到性质公式看又没改变，性质还能不能拿来用。

1.3.4二进小波


右图很明显表达了二进小波思想，还是更尺度a有关，w小的部分需要更细致采样，所以尺度窗口窄；反之，尺度窗口越来越大。
看到没，对尺度参数做些限制，对a抽样，令参数a=2j，j属于整数，而b仍取连续值。
然后就依照性质啪啪啪推导，满足性质的二进小波：

反正，就是重构二进小波，推导满足该条件。呵呵，不理会它，我们只要能理解过程就行。讲这个是为了引出下面要讲的正交小波，思路还是一样的。

1.3.5正交小波和多分辨分析
①正交小波
刚才二进小波只把a离散了对吧，现在我想把b也离散化。这样，我就实现了把原来二维降到了0维（离散化连一维都不算，是不是很厉害）。
a=2^-j;b=2^-j*k。

这样多分辨分析的概念也就顺其自然地说出来了：即如何找到这样一个信号，它的二的整数倍的伸缩和二的整数倍的偏移构成它的标准正交基。
逆变换如下：（很容易理解原函数可以重新用这组正交小波基表示出来）
http://ssvideo.chaoxing.com/playvideo.asp?id=225055&d=f61986be3590588afe0c673745b81e0a
可以买个淘宝账号，看看哈工大老师冉启文讲的小波。讲的太好了!校园网可能免费能看。

ɑj,k=Wf(a,b)= Wf(2^-j, 2^-j*k)
OK，整体的正交小波的大致了解很简单，就已经介绍完了。为了加深一下印象，举一个例比较常见的正交小波，Haar小波。
Ex1. Haar小波

显然, 的整数位移互相之间没有重叠，所以 ，即它们是正交的。

解释：对于多分辨率而言，尺度函数与小波函数共同构造了信号的分解。这里尺度函数可以由低通滤波器构造，而小波函数则由高通滤波器实现。这样的滤波器组就构成了分解的框架。而同时我们可以看到，低通滤波器的尺度函数可以作为下一级的小波函数和尺度函数的母函数。说明白些，其实尺度函数表征了信号的低频特征，小波函数才是真正逼近高频的基。利用尺度函数可以构造出小波函数。

注：图中的尺度函数就是
再看一个经典的正交小波- Shannon小波（如何证明都不看了，自己百度都有，只想说明尺度函数和小波函数之间的关系：从频域可以看到 和 各自及相互之间的整数移位都没有重叠，因此它们是正交的。同时，因为也是二进的，从上到下可以看出范围增大了一倍。）另外，从图为啥一下能看出来， 属于低通滤波器， 属于带通滤波器。

②多分辨分析
有了前面的概念，正式开始介绍多分辨分析（MRA）

上图，Vm其实就是尺度函数的集合，Wm为小波函数的集合。看图一下子就懂了两者的关系，V是一个圆，W是一个带。哈哈，你把这个套入到刚才那个Shannon小波肯定满足对吧。
注意：现在多分辨分析的思想就是，构造这样一个尺度参数Wm，不断累加累加，就可以忽略掉那个小小的一块VN可以完全表示信号。

那问题就来了!如何构造尺度参数？


如何构造尺度函数是小波变换理论研究中的重要方向，其实质是双尺度差分方程求解，常用涉及迭代过程。

另附Mallat算法（matlab版）

http://wenku.baidu.com/link?url=f2HOcGSdSNMDNAVH7AaJCkagvJbNmZ_AYLb-lD4vSdP6SEMvG-mRXan786SM4kInSgOXVoSSuHOjW_6BlMREmUxJuK54X1rb2b7wEKNwa4C