「UOJ 514」通用测评号（生成函数）

首先，题目中的过程可以看作：每次选择任意一个燃料仓，给它装填 \(1\) 单位的燃料，如果此时恰好 “填满” 了它，就给答案 \(+1\)。

考虑 \(n\) 号燃料仓填满的概率，因为所有燃料仓是等价的，由期望线性性，答案就是这个概率乘 \(n\)。

填满 \(n\) 号燃料仓前，我们必定给它装填了 \(1\) 单位。考虑这之前的状态：前 \(n - 1\) 个燃料仓中至少有一个装填了少于 \(b\) 单位，第 \(n\) 个燃料仓恰好装填了 \(a - 1\) 单位。所以说，\(n\) 号仓被填满概率就是：

\[\frac{1}{n} \sum_{\min\{x_1, x_2, \cdots, x_{n - 1}\} < b, x_n = a - 1} \left(\frac{1}{n}\right)^{\sum_{i = 1}^{n} x_i} \binom{\sum_{i = 1}^{n} x_i}{x_1, x_2, \cdots, x_n} \]

可以把 \([\min\{x_1, x_2, \cdots, x_{n - 1}\} < b]\) 转化成 \(1 - [x_1, x_2, \cdots, x_{n - 1} \ge b]\)。考虑写成 EGF 的形式：

\[\hat{f}(x) = \frac{1}{n} \left(\left(e^{\frac{1}{n}x} \right)^{n - 1} - \left(e^{\frac{1}{n}x} - \sum_{i = 0}^{b - 1} \frac{\left(\frac{1}{n}\right)^ix^i}{i!}\right)^{n - 1}\right)\frac{\left(\frac{1}{n}\right)^{a - 1} x^{a - 1}}{(a - 1)!} \]

我们要求的即是 \(\sum_{i \ge 0} \hat{f}_i \cdot i!\)。

考虑换元，令 \(u = e^{\frac{1}{n}x}, v = (\frac{x}{n})\)，那么有：

\[\hat{f}(x) = \frac{1}{n}\left(u^{n - 1} - \left(u - \sum_{i = 0}^{b - 1} \frac{v^i}{i!}\right)^{n - 1}\right)\frac{v^{a - 1}}{(a - 1)!} \]

先假设 \(\hat{f}(x) = \sum f_{p, q} u^p v^q\)，我们对每一项分别考虑：

\[\begin{split} & u^pv^q \\ = & e^{\frac{p}{n}x} \left(\frac{1}{n}\right)^q x^q \\ = & \left(\frac{1}{n}\right)^q \sum_{i \ge 0} \frac{\left(\frac{p}{n}\right)^ix^{i + q}}{i!} \end{split} \]

这一项对答案的贡献是：

\[\begin{split} & f_{p, q}\sum_{i \ge 0}i![x^i]u^pv^q \\ = & f_{p, q} \left(\frac{1}{n}\right)^q \sum_{i \ge 0} \frac{\left(\frac{p}{n}\right)^i(i + q)!}{i!} \\ = & f_{p, q} \left(\frac{1}{n}\right)^q q! \sum_{i \ge 0} \left(\frac{p}{n}\right)^i \binom{i + q}{i} \\ = & f_{p, q} \left(\frac{1}{n}\right)^q q! \frac{1}{\left(1 - \frac{p}{n}\right)^{q + 1}} \\ \end{split} \]

所以，我们已经可以快速求 \(f_{p, q} u^p v^q\) 对答案的贡献了，现在考虑如何求 \(f_{p, q}\)。

令 \(\sum_{i = 0}^{b - 1} \frac{v^i}{i!} = P\)，\(P\) 是关于 \(v\) 的 \(b - 1\) 次多项式。二项式定理展开，我们有：

\[\begin{split} \hat{f}(x) & = \frac{1}{n}\left(u^{n - 1} - \left(u - \sum_{i = 0}^{b - 1} \frac{v^i}{i!}\right)^{n - 1}\right)\frac{v^{a - 1}}{(a - 1)!} \\ & = \frac{1}{n(a - 1)!}\left(u^{n - 1} - \sum_{i = 0}^{n - 1} \binom{n - 1}{i} \left(-1\right)^{i}u^{n - 1 - i} P^i \right)v^{a - 1} \\ & = \frac{1}{n(a - 1)!}\left(\sum_{i = 1}^{n - 1} \binom{n - 1}{i} \left(-1\right)^{i - 1}u^{n - 1 - i} P^i \right)v^{a - 1} \\ \end{split} \]

我们只要算出 \(P^1, P^2, \cdots, P^{n - 1}\) 的各项系数即可。

暴力算是 \(O(n^2b^2)\) 的，可以用 FFT 优化到 \(O(n^2b \log nb)\)，下面讲一个 \(O(n^2b)\) 的方法。

发现 \(P' = P - \frac{v^{b - 1}}{(b - 1)!}\)，考虑微分方程：

\[\begin{split} (P^k)' & = kP' P^{k - 1} \\ & = k(P - \frac{v^{b - 1}}{(b - 1)!})P^{k - 1}\\ & = k(P^k - Q)\\ \end{split} \]

其中 \(Q\) 是 \(P^{k - 1}\) 乘上一个单项式。我们按照 \(k\) 从小到大的顺序递推，假设我们已经求出了当前的 \(Q\)。设 \(P^k = \sum_{i = 0}^{m} p_iv^i, Q = \sum_{i = 0}^{m} q_iv^i\)，那么：

\[\sum_{i = 0}^{m - 1} (i + 1)p_{i + 1}v^i = k\left(\sum_{i = 0}^{m} p_iv^i - \sum_{i = 0}^{m} q_iv^i\right) \\ p_{i + 1} = \frac{k(p_i - q_i)}{i + 1} \]

我们还有 \(p_0 = 1\)，所以就可以直接递推了。总共的时间复杂度为 \(O(n^2b)\)。

#include 
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= int(b); i++)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= int(b); i--)
using namespace std;

const int maxn = 250, maxm = maxn * maxn, mod = 998244353;
int n, a, b, fact[maxm + 3], finv[maxm + 3], inv[maxm + 3], m, p[maxm + 3], q[maxm + 3];

int qpow(int a, int b) {
	int c = 1;
	for (; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod) if (b & 1) c = 1ll * a * c % mod;
	return c;
}

void prework(int n) {
	fact[0] = 1;
	rep(i, 1, n) fact[i] = 1ll * fact[i - 1] * i % mod;
	finv[n] = qpow(fact[n], mod - 2);
	per(i, n, 1) finv[i - 1] = 1ll * finv[i] * i % mod;
	rep(i, 1, n) inv[i] = 1ll * fact[i - 1] * finv[i] % mod;
}

int C(int n, int m) {
	return 1ll * fact[n] * finv[m] % mod * finv[n - m] % mod;
}

int main() {
	scanf("%d %d %d", &n, &a, &b);
	prework(max(a, n * b));
	p[0] = 1;
	int res = 0;
	rep(k, 1, n - 1) {
		rep(i, 0, m) q[i + b - 1] = 1ll * p[i] * finv[b - 1] % mod;
		m += b - 1;
		rep(i, 0, m - 1) p[i + 1] = 1ll * inv[i + 1] * k % mod * (p[i] - q[i] + mod) % mod;
		int num = qpow((1 - 1ll * (n - 1 - k) * inv[n] % mod + mod) % mod, mod - 2);
		int cur = 1ll * (k & 1 ? 1 : mod - 1) * C(n - 1, k) % mod * qpow(1ll * inv[n] * num % mod, a - 1) % mod * fact[a - 1] % mod;
		rep(i, 0, m) {
			cur = 1ll * cur * (i == 0 ? 1 : inv[n]) % mod * (i == 0 ? 1 : i + a - 1) % mod * num % mod;
			res = (res + 1ll * p[i] * cur) % mod;
		}
	}
	res = 1ll * res * finv[a - 1] % mod;
	printf("%d\n", res);
	return 0;
}