约瑟夫问题的数学角度分析 C 数组实现 循环链表实现 递归实现时间复杂度O(logN)

在网上找了一些资料，具体包括约瑟夫斯问题wiki、【整理】约瑟夫问题的数学方法、约瑟夫问题(猴子选大王)循环链表C语言实现、約瑟夫問題的兩個O(log n)解法。自己做了总结吸收，尽量是数学证明的在简单的copy工作外加上自己的理解；是代码实现的，就自己做实验。虽然是拿来主义，但是也要学点东西不是？

废话不多说，先百科。约瑟夫斯问题（有时也称为约瑟夫斯置换），是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中，类似问题又称为约瑟夫环。有n个囚犯站成一个圆圈，准备处决。首先从一个人开始，越过k-2个人（因为第一个人已经被越过），并杀掉第k个人。接着，再越过k-1个人，并杀掉第k个人(这里的接着是说，如果k问题是，给定了n和k，一开始要站在什么地方才能避免被处决？

嗯，也可以称作猴子选大王问题，题目描述：n只猴子要选大王，选举方法如下：所有猴子按 1，2 ……… n 编号并按照顺序围成一圈，从第 k 个猴子起，由1开始报数，报到m时，该猴子就跳出圈外，下一只猴子再次由1开始报数，如此循环，直到圈内剩下一只猴子时，这只猴子就是大王。输入数据：猴子总数n，起始报数的猴子编号k，出局数字m。输出数据：猴子的出队序列和猴子大王的编号。

反正都一样嘛！

1 WIKI百科怎么说

k=2时的问题

设f(n)为一开始有n个人时，生还者的位置(注意：最终的生还者只有一个)。走了一圈以后，所有偶数号码的人被杀。再走第二圈，则新的第二、第四、……个人被杀，等等；就像没有第一圈一样。如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为x的人一开始在第2x-1个位置。因此第二圈位置为f(n)的人在第一圈的位置为2f(n)-1。这便给出了以下的递推公式：f(2n)=2f(n)-1.
如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为1的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为x的人原先位置为2x+1。这便给出了以下的递推公式：f(2n+1)=2f(n)+1.
如果我们把n和f(n)的值列成表，我们可以看出一个规律：
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112131415 16
f(n) 1 1 3 1 3 5 7 1 3 5 7 91113151

从中可以看出，f(n)是一个递增的奇数数列，每当n是2的幂时，便重新从f(n)=1开始。因此，如果我们选择m和l，使得n=2^m+l且0< l<2^{m}，那么f(n)=2*l+1。显然，表格中的值满足这个方程。我们用数学归纳法给出一个证明。
定理：如果n=2^m+l且0<=l<2^m，则f(n)=2l+1。
证明：对n应用数学归纳法。n=1的情况显然成立。我们分别考虑n是偶数和n是奇数的情况。
如果n是偶数，则我们选择l1和m1，使得n/2=2^(m1)+l1，且0<=l1<2^(m1)。注意l1=l/2;m1=m-1。我们有f(n)=2f(n/2)-1=2((2*l1+1)-1=2l+1，其中第二个等式从归纳假设推出。
如果n是奇数，则我们选择l1和m1，使得(n-1)/2=2^(m1)+l1，且0<=l1<2^(m1)。注意l1=(l-1)/2;m1=m-1。我们有f(n)=2f((n-1)/2)+1=2((2*l1)+1)+1=2l+1，其中第二个等式从归纳假设推出。证毕。

答案的最漂亮的形式，与n的二进制表示有关：把n的第一位移动到最后，便得到f(n)。如果n的二进制表示为n=b0_b1_b2_b3_...bm，则f(n)=b1_b2_b3_...bm_b0。这可以通过把n表示为2^{m}+l来证明。（真心漂亮）

k!=2时

这个问题的最简单的解决方法是使用动态规划。利用这种方法，我们可以得到以下的递推公式：
f(n,k)=(f(n-1,k)+k) mod  n，f(1,k)=0
如果考虑生还者的号码从n-1到n是怎样变化的，则这个公式是明显的。这种方法的运行时间是O(n)，但对于较小的k和较大的n，有另外一种方法，这种方法也用到了动态规划，但运行时间为O(k\log n)。它是基于把杀掉第k、2k、……、2[n/k]个人视为一个步骤，然后把号码改变。

2问题描述：n个人（编号1~n)，从1开始报数，报到m的退出，剩下的人继续从1开始报数。求胜利者的编号。数学解法复杂度：O(n)。

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比 较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最 后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
   k   k+1   k+2   ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：
k     --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n（这个步骤当时我的理解：x‘是变换前的编号；x是变换后的编号。如上转换，每个号码都减去k形成新号码，所以x+k就是原来的号码。这里明显x+kf[i]=(f[i-1]+m)%i。这里m不一定比n小，取余运算更合理。并且，这个思路与WIKI百科上的区别在于：维基上k=2时是一定小于n，所以wiki上是对一个数列把所有隔一个的全部淘汰掉，然后还是原来的数列顺序不变，只是剩下的抽取出来组成新的数列；这里的每次从k重新开始，是默认数列循环的）

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;   (i>1)（这里在计算时候容易误解是对n取余，其实是对i取余。因为每次数列的长度都是变化的）

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：

#include
int main()
{
   int n, m, i, s=0;
   printf ("N M = "); scanf("%d %d", &n, &m);
   for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;
   printf ("The winner is %d\n", s+1);
}

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。

上面的程序可以对WIKI的理论做一个验证，特别是m=2的。很简单。

3猴子选大王问题（输入数据：猴子总数n，起始报数的猴子编号k，出局数字m     输出数据：猴子的出队序列和猴子大王的编号）循环单链表实现

#include 
#include 

typedef struct Node * PtrToNext;
struct Node
{
	 int Data;
	 PtrToNext Next;
};
int main(void)
{
	 int n, m, i,j;
	 PtrToNext Head,P,tmpCell;

	 Head=(PtrToNext)malloc(sizeof(struct Node));
	 P=(PtrToNext)malloc(sizeof(struct Node));
	 P=Head;
	 P->Next=P;
	 printf ("N M = ?\n Please enter the number\n"); 
	 scanf("%d %d", &n, &m);

	 for (i=0; iData=i+1;
		P->Next=tmpCell;		
		P=tmpCell;
	 }
	 Head=Head->Next;
	 P->Next=Head;

	 P=Head;
	 j=1;
	 while(P->Next!=P)
	 {
		  i=1;
		  
		  while(++iNext;
		  }
		  tmpCell=P->Next;
		  printf("When the loop=%d,the ID=%d is eliminated.\n",j,tmpCell->Data);
		  P->Next=tmpCell->Next;
		  P=tmpCell->Next;
		  free(tmpCell);//对于舍弃的结构体要及时free，避免浪费空间
		  j++;
	 }

	 printf ("The winner is %d\n", P->Data);

	 free(P);//前面的tmpCell已经free掉，P和head指向同一个地址，所以只能对P做此操作。free(head)报错
	 
	 return 0;
}

习题3.10的解答

对于第一种方法，花费时间O(n)，空间复杂度为O(1)；第二种方法，花费时间O(mn)，空间复杂度是O(n)。 （PS：所以说，学好数学多么重要！！！）

M=1时，逐个删除，时间复杂度为O(N)。