傅里叶变换及其应用
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图像的二维傅里叶变换频谱图特点研究
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一、先放一些相关的结论：
1、傅里叶变换的幅值称为傅里叶谱或频谱。
2、F(u)的零值位置与“盒状”函数的宽度W成反比。
3、卷积定理：空间域两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换在频率域中的乘积。f(t)*h(t) <=> H(u)F(u)
4、采样定理：如果以超过函数最高频率的两倍的取样率来获得样本，连续的带限函数可以完全地从它的样本集来恢复。
5、严重的混淆甚至会产生完全的误解效果。
6、变化最慢的频率分量(u=v=0)与图像的平均灰度成正比。直流项决定图像的平均灰度。
7、零平均表示存在负灰度，此时图像不是原图像的真实描述，因为所有负灰度为显示目的的都被修剪过。
8、对高通滤波器加一个小常数不会影响尖锐性，但是它的确能防止直流项的消除，并保留色调。
9、在频谱图中,中心部分（uv坐标系中点(0,0)附近）表示原图像中的低频部分。
10、如果原始图像具有十分明显的规律,例如将一个简单图样有规律的平移并填满整个图形,那么其频谱一般表现为坐标原点周围的一圈亮点。
11、将一张灰度图像反相，其频谱的“样式”不变。（个人理解：反相只是将黑白颠倒，但并不改变灰度变化处的对比度）
12、如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小）；反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的、边界分明且边界两边像素差异较大的。
13、高频分量解释信号的突变部分，而低频分量决定信号的整体形象。
所用的傅里叶变换的分析工具是Halcon，代码如下：
read_image (Image, 'C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg')
fft_image (Image, ImageFFT)
二、不同图像的频谱图分析
左边是原图，右边是经傅里叶变换之后的频谱图。
1、全黑图——频谱图也全黑（图像的分辨率是240*240）
2、灰色图——频谱图中央有个单像素的白色的小正方形，坐标是（120,120），值是（30480,0）
3、全白图——频谱图中央有个单像素的白色的小正方形，坐标是（120,120），值是（61200,0）
4、在图中画一个圆——频谱图呈同心圆状，最中央（坐标120，120）的值为（3852.64,0），其他地方的值有正有负，趋势是越靠近中央值的绝对值越大。
5、在图中画一个正方形——最中央的值为（5143.03,0），其他地方的值有正有负，趋势是越靠近中央值的绝对值越大。
6、将上图中正方形旋转45度——最中央的值为（5140.22,0），可认为5140.22≈5143.03；其他地方的值有正有负，趋势是越靠近中央值的绝对值越大。
7、画两个圆——最中央的值为（7704.13,0）
8、画一个白圆、一个灰圆——最中央的值为（5772.82,0）
9、画四个圆——最中央的值为（15402.8,0）
10、画2个正方形——最中央的值为（10061.8,0）
11、画四个均旋转45度的正方形——最中央的值为（20114.3,0）
12、画一条直线——最中央的值为（766,0）
13、画一条倾斜15°的线——最中央的值为（876.571,0）
14、画一对交叉线——最中央的值为（1194.55,0）
15、画一个渐变的圆——虽然也是同心圆，不过没有之前明显了；最中央的值为（1849.6,0）
16、将整张图用渐变填充——最中央的值为（30470,0），可以认为这个值跟灰色图的值（30480）相等。
17、画一个倾斜15°的渐变条——最中央的值为（12051.9,0）
18、找来一张图做了不同处理，然后分别观察它们的 频谱图，分别是：
原图、反相图、轻度高斯模糊、重度高斯模糊、平均灰度图、反相平均灰度图。
处理的代码如下：
read_image (Image1, 'C:/Users/xiahui/Desktop/1.jpg')
read_image (Image2, 'C:/Users/xiahui/Desktop/2.jpg')
read_image (Image3, 'C:/Users/xiahui/Desktop/3.jpg')
read_image (Image4, 'C:/Users/xiahui/Desktop/4.jpg')
read_image (Image5, 'C:/Users/xiahui/Desktop/5.jpg')
read_image (Image6, 'C:/Users/xiahui/Desktop/6.jpg')
fft_image (Image1, ImageFFT1)
fft_image (Image2, ImageFFT2)
fft_image (Image3, ImageFFT3)
fft_image (Image4, ImageFFT4)
fft_image (Image5, ImageFFT5)
fft_image (Image6, ImageFFT6)
由上面可以看出，反相以后，图像的频谱图的“样式”是没有变化的。但其实值是有变化的，这6幅图中央点（120,120）的值分别为：
（47235，0）、（13965，0）、（47169.5，0）、（47130.4，0）、（47280，0）、（13920，0）
根据上面的例子，我们还能得出2个结论：
1、如果图像中有条状的细线，那么沿着此条状细线的走向方向，没有灰度值的变化或变化很小，这样其频谱图就有一条垂直于该条状细线的亮线。这是因为数字图像频谱图的得出和图像的灰度变化（梯度）有关。
2、图像中央点（120,120）的值应该和图像的平均灰度有关，在例3（全白图）中，没有灰度的变化，也就没有频率的变化，所有的能量都集中在频谱图中央的那个单个白色像素块中，其值为61200（图像的分辨率越高，这个极限值越大），在例18中，平均灰度图频谱中央点的值为47280，反相平均灰度图频谱为13920，而47280 + 13920 = 61200。平均灰度图的灰度为198，反相平均灰度图的灰度为57。