BSGS&扩展BSGS

BSGS

　　给定 a,b,p ，求 x 使得 ax≡b(mod p) ，或者说明不存在 x
　　只能求 gcd(a,p)=1 的情况
　　有一个结论：如果有解则必然存在 x∈{0…p−1} 的解
　　设 q=⌈(√p)⌉,x=cq−d
　　

acq−d≡b (mod p)

　　

acq≡b×ad (mod p)

　　先枚举 d∈{1…q} ，把 b×admod p 塞进哈希表里
　　再枚举 c∈{1…q} ，查询 acq 是否在哈希表内
　　最后 cq−d 就是答案
　　

扩展BSGS

　　能求 gcd(a,p)≠1 的情况。
　　设 s=gcd(a,p)
　　若 s∤b 则无解
　　设 a′=as,b′=bs,p′=ps
　

(a′s)x≡b′s (mod p′s)

　

a′ax−1≡b′ (mod p′)

　　这样每次 p 都会除以一个大于 2 的数，这个过程一定会停止（ O(logp) 次）
　　最后会得到
　

dax−k≡b (mod p)

　　把计算出来的 x 加上 k 输出就可以了。
　　但是可能存在小于 k 的答案
　　直接枚举 0 ~ k ，判断是否合法。

一些其他的东西

　　sdchr大爷说可以直接按照普通BSGS的方法做，然后把我的随机数据过掉了，但被我hack了。
　　表面上看当 gcd(a,p)≠1 时BSGS也可以做，但是，

acq−d≡b (mod p)⇒acq≡bad (mod p)

acq−d≡b (mod p)⇍acq≡bad (mod p)

　　1式能推出2式，但2式不能推出1式（要两边同时除以 a 的逆元）
　　所以这是不对的