调和级数近似求和公式推导

调和级数是一个非常著名的级数，对于调和级数我们有一个近似的求和公式：
${\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i}=\ln (n+1)+\gamma (\gamma 为欧拉常数,\gamma =li{m}_{n\to \infty }{\int }_1^n\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x}dx约等于0.57721566490153286060651209,)$。
推导过程：
$$\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}=\sum _{i=1}^n{\int }_i^{i+1}\frac{1}{\lfloor x\rfloor }dx$$
$$={\int }_1^{n+1}\frac{1}{x}+\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x}dx$$
$$={\int }_1^{n+1}\frac{1}{x}dx+{\int }_1^{n+1}\frac{1}{\lfloor x\rfloor }-\frac{1}{x}dx$$
$$\approx \ln (n+1)+\gamma$$