传送门
A. XXXXX
维护一个关于模\(x\)的前缀和就行。
Code
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* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/13 23:07:56
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B. Most socially-distanced subsequence
显然我们最后的选择一定选择连续上升/下降的端点,在中间的点选择对答案不会有贡献并且会增加序列长度。
所以简单枚举判断一下就行。
Code
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* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/13 23:14:56
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C. Ehab and Prefix MEXs
题意:
给定一个序列\(a\),\(0\leq a_i\leq i,a_i\leq a_{i+1}\)。
现在要构造出一个序列\(b\),使得对于每个\(i\),都有
- \(MEX(\{b_1,b_2,\cdots,b_i\})=a_i\)
输出\(b\)序列。
思路:
注意到若\(a_i\not ={a_{i+1}}\),那么\(b_{i+1}=a_i\)。因此我们首先可以将这些位置确定。
并且若\(1\)~\(i\)不含\(a_i\),那么\(MEX(\{b_1,b_2,\cdots,b_i\})\leq a_i\)。那么我们现在所考虑的是让前缀\(MEX\)尽量大并且不包含\(a_i\)。这样直接贪心构造一下就行。
因为题目条件,显然至少存在一组合法解。
代码如下:
Code
/*
* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/15 9:28:17
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D. Ehab's Last Corollary
和之前一道题很想,找环我们可以直接通过\(dfs\)树来找。
如果不存在环那么直接按照深度分层即可。
注意奇数层和偶数层都有可能成为答案。
Code
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* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/14 0:25:26
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E. X-OR
题意:
交互题。
现在有\(0...n-1\)的排列\(p\),每次可以询问两个位置\(i,j\),会回答\(p_i|p_j\)。
现在至多询问\(4269\)次要求得到排列\(p\)。\(n\leq 2048\)。
思路:
这个题和之前有个每次可以询问一个集合的最大值有相似之处(貌似只是题意比较类似?)。
首先一看这个询问次数很容易发现我们询问大概\(2n+c\)次,并且也很容易发现如果我们知道\(0\)的位置,那么其余的数可以直接求出来。
接下来的任务就是大概\(n+c\)次猜出\(0\)的位置,然后直接得到其余位置的数。
有比较暴力的方法:
- 每次随机选择一个数\(p_i\),并询问其余在集合\(S\)中的数,找到所有的\(p_j\&p_i=p_j\)的\(j\),并且找到\(p_i|p_j\)最小的\(val\),那么容易发现\(val=p_i\)。然后将\(S\)清空将得到的下标集合放入\(S\)中。不断重复此过程。最后会剩下两个数,一个为\(0\),一个为\(2^t\),再通过随机找到\(0\)即可。
但遗憾的是上述方法的操作次数较多,通过的几率不大。
不过这种方法可以进行改进:
- 将之前的随机选择一个数该为随机选择两个数进行询问,若\(p_i|p_j\)的二进制位数不超过\(\frac{logn}{2}\),那么就选择这个数然后执行上面类似的操作。
这样就得到了优化,并且我们每次可以将一个大小为\(n\)的集合变为大小为\(\sqrt{n}\)的集合。因为我们选择\(p_i\),其中二进制为\(1\)的个数小于一半,假设为\(\frac{logn}{2}\),那么其子集个数为\(2^{\frac{logn}{2}}=\sqrt{n}\)。这样我们就能得到一个比较稳定的方法,并且很容易发现根号的收敛速度还是比较快的,次数也不会超出。
当然上面的做法有点巧妙,有一个更加普遍的做法,就是利用或运算的性质,我们可以通过\(logn\)次询问获得\(p_i\)的值。具体就是我们求出\(z_0,z_1,\cdots,z_10\),\(z_i\)表示第\(i\)为二进制数为\(0\)的下标。那么通过\(p_i\)与\(z_i\)的询问即可得到第\(i\)位的\(01\)情况。
之后我们还是借用一开始暴力的思想,但是我们现在因为已经知道了\(p_i\),所以可以直接确定一个数是否为\(p_i\)的子集(并不需要对所有遍历一遍去找\(val\)了)。那么如果\(p_j\&p_i=p_j\),直接令新的\(val=p_j\)即可。
两种做法都很巧妙!感觉二进制好多好多trick...\(n\rightarrow \sqrt{n}\)这里也应该是第一次见吧?
代码如下:
Code
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* Author: heyuhhh
* Created Time: 2020/6/15 10:16:32
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