简单指数平滑

简单指数平滑

简单指数平滑法（SES）适用于预测没有趋势和季节性的模型。

y^T+1|T=αyT+α(1−α)yT−1+α(1−α)2yT−2+⋯, y ^ T + 1 | T = α y T + α ( 1 − α ) y T − 1 + α ( 1 − α ) 2 y T − 2 + ⋯ ,

上式中，距离预测时间越近的日期占的权重越大，距离越远权重越小。
有三种等效形式：
1.1 权重平均形式
t+1时刻的预测值 y^t+1|t y ^ t + 1 | t 等于最近邻的观测值 yt y t 和最近邻的预测值 y^t|t−1 y ^ t | t − 1 的加权平均。

y^t+1|t=αyt+(1−α)y^t|t−1 y ^ t + 1 | t = α y t + ( 1 − α ) y ^ t | t − 1

该式子必须从某个地方起始，设置第一个预测值为 l0 l 0 ，那么

y^2|1y^3|2y^4|3⋮y^T+1|T=αy1+(1−α)ℓ0=αy2+(1−α)y^2|1=αy3+(1−α)y^3|2=αyT+(1−α)y^T|T−1 y ^ 2 | 1 = α y 1 + ( 1 − α ) ℓ 0 y ^ 3 | 2 = α y 2 + ( 1 − α ) y ^ 2 | 1 y ^ 4 | 3 = α y 3 + ( 1 − α ) y ^ 3 | 2 ⋮ y ^ T + 1 | T = α y T + ( 1 − α ) y ^ T | T − 1

将上述方程按如下方式替换，可以得到：
y^T+1|T=∑T−1j=0α(1−α)j+(1−α)Tl0 y ^ T + 1 | T = ∑ j = 0 T − 1 α ( 1 − α ) j + ( 1 − α ) T l 0

1.2 分量形式
简单指数平滑方法中的位移组分是水平（level），其组分可以分为一个预测方程和一个平滑方程，平滑方程对以前的level做指数平滑。表达式如下：

Forecast equationSmoothing equationy^t+1|tℓt=ℓt=αyt+(1−α)ℓt−1, Forecast equation y ^ t + 1 | t = ℓ t Smoothing equation ℓ t = α y t + ( 1 − α ) ℓ t − 1 ,

其中 lt l t 是时间 t t 时刻的水平值。预测方程表明t+1时刻的预测值是t时刻的预估水平。平滑方程给出了在t时刻的预估水平。

1.3 误差修正形式
第三种形式是通过将分量形式中的平滑方程重新组合，得到了误差修正形式：

ℓt=ℓt−1+α(yt−ℓt−1)=ℓt−1+αet ℓ t = ℓ t − 1 + α ( y t − ℓ t − 1 ) = ℓ t − 1 + α e t

其中 et=yt−ℓt−1=yt−y^t|t−1 e t = y t − ℓ t − 1 = y t − y ^ t | t − 1 。如果t时刻的误差是负的，那么 y^t|t−1>yt y ^ t | t − 1 > y t ，所以t-1时刻的水平被高估了。新的水平 lt l t 这时候是 jt−1 j t − 1 向下调整。 α α 越接近1，预估水平越粗糙（发生了很大的调整）。\alpha$越接近0，预估水平的平滑（发生了小的调整）

2 多个范围的预测
目前为止给出的预测方程都是只预测后一个步长的的情况。简单的指数平滑具有一个平的预测方程，对于更长期的预测，有：

y^T+h|T=y^T+1|T=ℓT,h=2,3,…. y ^ T + h | T = y ^ T + 1 | T = ℓ T , h = 2 , 3 , … .

这样的预测只有在时间序列没有趋势或者季节性规律时才适用。

3 初始化
每个指数平滑方法都需要对平滑过程初始化。在简单指数平滑时，需要给初始值水平 l0 l 0 赋值，当时间序列较短或 α α 较小时，权重可能会显著影响预测结果。
另一种方式是通过优化的方法来确定 l0 l 0 的值，例如在简单指数平滑模型中，只有一个 α α 值，可以通过比较平方误差之和（SSE）来确定最佳的 α α 。