第3章复习提纲

第3章 集合

3.1 集合的概念与表示

集合的定义

• 集合
• 元素（⭐️集合的元素可以是一个集合）
• 有限集合
• 无限集合
• 集合的基数：有限集合A的基数等于其包含的元素的个数，记为|A|

集合与元素的关系

• 属于关系
• 不属于关系

集合的表示方法

• 列举法
• 描述法
• 归纳定义法

集合与集合之间的关系

• 子集
• 真子集（注意写法和高中的不同）
• 【集合相等的外延性公理】
• 【定理】集合A和集合B相等的充要条件是A和B互为子集
• 【推论】对于任意集合A，都有A⊆A
• 【定理】设A、B、C是集合，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C

特殊的集合

• 全集
• 空集 ⭐️空集是唯一的。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
• 幂集：给定集合A，由A的所有子集为元素构成的集合称为集合A的幂集，记为ρ(A)。含有n个元素的集合的幂集的基数为2^n

Venn 图

3.2集合的运算

集合的基本运算

• 集合的交（∩）
• 集合的并（∪）
• 集合的差（—）
• 集合的补
• 集合的环和
• 集合的环积

集合运算的基本性质

• 交换律
• 结合律
• 分配率
• 同一律
• 互补律
• 对合律
• 等幂律
• 零一律
• 吸收律
• 德摩根律
• 【定理】设A和B是全集U的任意子集，若A⊆B，则B补⊆A补
• 【定理】设A和B是全集U的任意子集，若A⊆B，则(B—A)∪A=B

并交运算的扩展

• 集合簇：以集合为元素构成的集合
• 广义交
• 广义并

3.3 容斥原理与鸽巢原理

容斥原理

鸽巢原理

3.4归纳法

集合的归纳定义

• 基础条款
• 归纳条款
• 极小性条款

归纳证明

• 基础步骤
• 归纳步骤

自然数

数学归纳法第一原理

数学归纳法第二原理

3.5 集合的笛卡尔积

• 序偶：两个元素组成的具有固定次序的序列称为序偶，记为。序偶通常用于描述这两个元素间的关系
• 序偶相等
• n元祖：n个元素组成的具有固定次序的序列
• n元祖相等
• ⭐️笛卡尔积
• 【定理】笛卡尔积对集合的交、并运算都是可分配的
• 【定理】如果Ai（i=1,2，……，n）都是有限集合，那么|A1×A2×……×An|=|A1|·|A2|·……·|An|