问题引入:最小费用最大流问题是经济学和管理学中的一类典型问题。在一个网络中每段路径都有“容量”和“费用”两个限制的条件下,此类问题的研究试图寻找出:流量从A到B,如何选择路径、分配经过路径的流量,可以在流量最大的前提下,达到所用的费用最小的要求。如n辆卡车要运送物品,从A地到B地。由于每条路段都有不同的路费要缴纳,每条路能容纳的车的数量有限制,最小费用最大流问题指如何分配卡车的出发路径可以达到费用最低,物品又能全部送到。
解决最小费用最大流问题,一般有两条途径。一条途径是先用最大流算法算出最大流,然后根据边费用,检查是否有可能在流量平衡的前提下通过调整边流量,使总费用得以减少?只要有这个可能,就进行这样的调整。调整后,得到一个新的最大流。
然后,在这个新流的基础上继续检查,调整。这样迭代下去,直至无调整可能,便得到最小费用最大流。这一思路的特点是保持问题的可行性(始终保持最大流),向最优推进。另一条解决途径和前面介绍的最大流算法思路相类似,一般首先给出零流作为初始流。这个流的费用为零,当然是最小费用的。然后寻找一条源点至汇点的增流链,但要求这条增流链必须是所有增流链中费用最小的一条。如果能找出增流链,则在增流链上增流,得出新流。将这个流做为初始流看待,继续寻找增流链增流。这样迭代下去,直至找不出增流链,这时的流即为最小费用最大流。这一算法思路的特点是保持解的最优性(每次得到的新流都是费用最小的流),而逐渐向可行解靠近(直至最大流时才是一个可行解)。
由于第二种算法和已介绍的最大流算法接近,且算法中寻找最小费用增流链,可以转化为一个寻求源点至汇点的最短路径问题,所以这里介绍这一算法。
#include
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#include
#include
using namespace std;
#define maxn 205
struct node
{
int x,y;
}hdis[maxn],pdis[maxn];
struct road
{
int flow;
int cost;
}path[maxn][maxn];
char s[maxn][maxn];
int pre[maxn];
int link[maxn];
int used[maxn];
int best[maxn];
int ans,n,m;
int spfa();
void operat();
void operat()
{
ans=0;
int end=n+m+1;
while(spfa())
{
int x=end;
int dis=INT_MAX;
while(x)
{
int vlink=link[x];
dis=min(dis,path[vlink][x].flow);
x=vlink;
}
x=end;
while(x)
{
int vlink=link[x];
path[vlink][x].flow-=dis;
path[x][vlink].flow+=dis;
ans+=dis*path[vlink][x].cost;
x=vlink;
}
}
printf("%d\n",ans);
}
int spfa()
{
int start=0,end=n+m+1;
memset(used,0,sizeof(used));
memset(link,-1,sizeof(link));
memset(best,1,sizeof(best));
queueq;
q.push(0);
best[0]=0;
while(!q.empty())
{
int now=q.front();
q.pop();
for(int i=1;i<=end;i++)
{
if(path[now][i].flow>0 && best[i]>best[now]+path[now][i].cost)
{
best[i]=path[now][i].cost+best[now];
link[i]=now;
if(!used[i])
{
used[i]=1;
q.push(i);
}
}
}
used[now]=0;
}
if(best[end]<=100000)
return 1;
return 0;
}
int main()
{
int i,j;
while(scanf("%d%d",&n,&m),n!=0 && m!=0)
{
memset(path,0,sizeof(path));
int a=0,b=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
{
scanf(" %c",&s[i][j]);
if(s[i][j]=='H')
{
hdis[++b].x=i;
hdis[b].y=j;
}
if(s[i][j]=='m')
{
pdis[++a].x=i;
pdis[a].y=j;
}
}
}
n=a;m=b;
int x;
for(i=1;i<=n;i++)
{
for(j=1;j<=m;j++)
{
x=abs(hdis[j].x-pdis[i].x)+abs(hdis[j].y-pdis[i].y);
path[i][j+n].flow=1;
path[i][j+n].cost=x;
path[j+n][i].cost=-x;
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
path[0][i].flow=1;
for(i=1;i<=m;i++)
path[n+i][n+m+1].flow=1;
operat();
}
}