最小费用最大流（讲解+模板）



        问题引入：最小费用最大流问题是经济学和管理学中的一类典型问题。在一个网络中每段路径都有“容量”和“费用”两个限制的条件下，此类问题的研究试图寻找出：流量从A到B，如何选择路径、分配经过路径的流量，可以在流量最大的前提下，达到所用的费用最小的要求。如n辆卡车要运送物品，从A地到B地。由于每条路段都有不同的路费要缴纳，每条路能容纳的车的数量有限制，最小费用最大流问题指如何分配卡车的出发路径可以达到费用最低，物品又能全部送到。

       解决最小费用最大流问题，一般有两条途径。一条途径是先用最大流算法算出最大流，然后根据边费用，检查是否有可能在流量平衡的前提下通过调整边流量，使总费用得以减少？只要有这个可能，就进行这样的调整。调整后，得到一个新的最大流。

      然后，在这个新流的基础上继续检查，调整。这样迭代下去，直至无调整可能，便得到最小费用最大流。这一思路的特点是保持问题的可行性（始终保持最大流），向最优推进。另一条解决途径和前面介绍的最大流算法思路相类似，一般首先给出零流作为初始流。这个流的费用为零，当然是最小费用的。然后寻找一条源点至汇点的增流链，但要求这条增流链必须是所有增流链中费用最小的一条。如果能找出增流链，则在增流链上增流，得出新流。将这个流做为初始流看待，继续寻找增流链增流。这样迭代下去，直至找不出增流链，这时的流即为最小费用最大流。这一算法思路的特点是保持解的最优性（每次得到的新流都是费用最小的流），而逐渐向可行解靠近（直至最大流时才是一个可行解）。

    由于第二种算法和已介绍的最大流算法接近，且算法中寻找最小费用增流链，可以转化为一个寻求源点至汇点的最短路径问题，所以这里介绍这一算法。

【计算步骤】

⒈ 对网络G=[V,E,C,W]，给出流值为零的初始流。

⒉ 作伴随这个流的增流网络G′=[V′，E′，W′]。G′的顶点同G：V′=V。若G中f(u,v)0，则G′中建边（v,u），w′（v,u)=-w(u,v）。

⒊ 若G′不存在x至y的路径，则G的流即为最小费用最大流， 停止计算；否则用标号法找出x至y的最短路径P。

⒋ 根据P，在G上增流：对P的每条边（u,v），若G存在（u,v），则（u,v）增流；若G存在（v,u），则（v,u）减流。增（减）流后，应保证对任一边有c(e）≥ f(e）≥0。

⒌ 根据计算最短路径时的各顶点的标号值L(v），按下式修 改G一切边的权数w(e):

L(u)-L(v)+w(e）→w(e）。

⒍ 将新流视为初始流，转2。

这里仍然采用EK算法，虽然复杂度较高，但是一般问题还是可以解决的。

和最大流算法的唯一区别是假如了最短路spfa算法（相信不难理解）

举一个模板题代码说明问题

问题链接： http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1533

代码如下：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace  std;
#define maxn 205
struct node
{
	int x,y;
}hdis[maxn],pdis[maxn];
struct road
{
	int flow;
	int cost;
}path[maxn][maxn];
char s[maxn][maxn];
int pre[maxn];
int link[maxn];
int  used[maxn];
int best[maxn];
int ans,n,m;
int spfa();
void operat();
void operat()
{
       ans=0;
       int end=n+m+1;
	  while(spfa())
	  {
          int x=end;
          int dis=INT_MAX;
		  while(x)
		  {
		  	  int vlink=link[x];
		  	  dis=min(dis,path[vlink][x].flow);
		  	  x=vlink;
		  }	
		  x=end;
		  while(x)
		  {
		  	  int vlink=link[x];
		  	  path[vlink][x].flow-=dis;
		  	  path[x][vlink].flow+=dis;
		  	  ans+=dis*path[vlink][x].cost;
		  	  x=vlink;
		  }      	
	  }	
	  printf("%d\n",ans);
}
int spfa()
{
	int start=0,end=n+m+1;
	memset(used,0,sizeof(used));
	memset(link,-1,sizeof(link));
	memset(best,1,sizeof(best));
	queueq;
	q.push(0);
	best[0]=0;
	while(!q.empty())
	{
		int now=q.front();
		q.pop();
		for(int i=1;i<=end;i++)
		{
			if(path[now][i].flow>0 && best[i]>best[now]+path[now][i].cost)
			{
			    best[i]=path[now][i].cost+best[now];
			    link[i]=now;
			    if(!used[i])
			    {
			    	used[i]=1;
			    	q.push(i);
				}
			}
		}
		used[now]=0;
	}
	if(best[end]<=100000)
	    return 1;
	    return 0;
}
int  main()
{
	int i,j;
	while(scanf("%d%d",&n,&m),n!=0 && m!=0)
	{
		memset(path,0,sizeof(path));
		int a=0,b=0;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			for(j=1;j<=m;j++)
			{
				scanf(" %c",&s[i][j]);
				if(s[i][j]=='H')
				 {
				 	hdis[++b].x=i;
				 	hdis[b].y=j;
				 }
				 if(s[i][j]=='m')
				 {
				 	pdis[++a].x=i;
				 	pdis[a].y=j;
				 }
			}
		}
		n=a;m=b;
		int x;
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			for(j=1;j<=m;j++)
			{
				x=abs(hdis[j].x-pdis[i].x)+abs(hdis[j].y-pdis[i].y);
				path[i][j+n].flow=1;
				path[i][j+n].cost=x;
				path[j+n][i].cost=-x;
			}
		}
	   for(i=1;i<=n;i++)
	   	    path[0][i].flow=1;
	   for(i=1;i<=m;i++)
	        path[n+i][n+m+1].flow=1;
           operat();
	}
}