数学建模中的规划问题

装了半天数学公式编辑器，没装好，见谅。

规划算法综合概述

对规划问题学习的心得 https://blog.csdn.net/hyqhhxx/article/details/100075799

规划的基本概念

规划是运筹学的一个重要分支，主要研究数值最优化问题。三个主要构成要素为决策变量、目标函数以及约束条件。

决策变量x，目标函数z，约束条件g(x)

规划的分类方法（了解）

求解规划的基本方法

方法：在具体规划模型中会说明
软件：Lingo Matlab

线性规划

线性规划即目标函数以及约束条件都是线性的规划。

线性规划模型的建立

线性规划的标准化

• 目标函数标准化
• 约束条件标准化
• 决策变量的标准化

1.目标函数统一为求最大，如果原式为求最小，转化公式为 min(z)=max(-z)

2.约束条件统一由不等式化为等式。简单说就是如果式子是大于等于号，则式子左端减去一个正数，反之则加上一个正数。

例如

引入松弛变量 Xn+1,Xn+2

a1x1+…+anxn<=b1 化为 a1x1+…+anxn+Xn+1=b1
a1x1+…+anxn>=b2 化为 a1x1+…+anxn-Xn+2=b2

添加限制
Xn+1>=0
Xn+2>=0

4.因此所有的线性规划都可以化成标准形式：

线性规划求解

理论基础：单纯形法(简单说就是在基本可行解中循环迭代求得最优解的过程)

Lingo求解

1. 代码简单
2. 结果易分析
3. 不容易报错
   
   大概就是这个样子

Matlab求解

其中A,b,Aeq,X,beq,C都是系数矩阵。 约束条件中第一个为不等式约束，第二个为等式约束，第三个为决策变量的范围，在下节非线性规划中会再次升级。

所有量需要化成矩阵形式，负责代码的同学自己去了解。

非线性规划

简单说就是目标函数和约束条件至少有一个是非线性的规划。

Matlab形式

从公式来看，目标函数不能简单的表示为C^Tx的形式，多出了两条非线性约束条件。
总的来说非线性规划比线性规划仅仅增添了解方程时的麻烦。

整数规划

决策变量为整数类型的规划。

整数规划的分类

整数规划的求解方法

蒙特卡洛算法
蒙特卡洛算法，本质就是随机取样法，是指使用随机数（或者更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

某整数规划题目的求解过程

特殊整数规划0-1规划

即在整数规划的基础上增加一个限制条件 0<=x<=1

动态规划（了解即可）

简单来书每一阶段的决策，常常会影响下一阶段的决策，通过动态规划求取全局最优解。

动态规划模型的基本原理

1. 最优化原理：如果一条最短路经过Xk，那么这条路线上从Xk到终点的一段，是从Xk出发到终点的所有路线中最短的。

2. 贝尔曼—福特算法：在整个过程的最优化策略中，无论过去的状态和决策如何，对当前而言，余下的策略必须构成最优策略。

   逆序法由1和2衍生出来：从后往前逐步求出各点到终点的最佳路线，最后求出全局最优路线。

动态规划的优缺点

优点：
1.可得到全局最优解
2.可得到一族最优解
3.可以利用经验提高解题效率
缺点：
1.没有统一的模型
2.用数值方法求解存在维数灾

目标规划（重点）

目标规划中的目标不是单一目标而是多目标，既有主要目标又有次要目标。根据主要目标建立部门分目标，构成目标网，形成整个目标体系。制定目标时应注意衡量各个次要目标的权重，各次要目标必须在主要目标完成之后才能给予考虑。

目标规划模型的建立

引入偏差变量的概念

引入优先因子

目标规划的一般模型

目标规划的求解方法

理论基础：序贯式算法
按各个目标的优先次序，由高到低按单目标的规划问题求解，最高级的优先解解出后，添加到目标偏差的上界添加到约束条件中。

规划算法的应用

2015国赛 太阳影长的问题