无向图连通性判断的五种方法（BFS、DFS、Union-find、Warshell、Tarjan）

目录

无向连通图的相关定义

主要算法流程

 DFS判断：

BFS判断：

Warshell判断：

Union-Find判断：

Tarjan判断：

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无向连通图的相关定义

1. 连通性：在图G中，两个不同的结点u和结点v之间若存在一条路，则称结点u和结点v是连通的。
2. 无向连通图：若在无向图G中，任意两点都是连通的，则称图G为连通图。

主要算法流程

 DFS判断：

• 从任一结点开始，进行一次深度优先遍历。深度优先遍历的结果是一个图的连通分量。当一次遍历没有访问到所有结点，那么就说明图是不连通。

• 算法步骤及相关分析：

a)算法步骤：
    从顶点v出发，访问顶点v，并令visited[v] = 1；
    依次查找v的所有邻接点w，若visited[w] 为0，则从w出发，深度优先遍历图。
    进行判断，遍历visited数组，若visited数组中有一个值不为1，则说明该点未被访问，图不连通。
b)时间复杂度:：算法运行时间主要是耗费在寻找邻接w处，寻找一个符合条件的w的时间复杂度是O(V)，V个节点就是O(V^2)，尽管可能不会寻找V次。
c)空间复杂度：空间复杂度仅耗费在辅助数组visited[]上，空间复杂度为O(V)。
d)改进：
    设置全局静态变量count，记录访问结点的数量，所以判断时不必遍历visited数组，只要判断count值是        否等于结点数量V即可；
    visited数组设置为全局变量，与BFS函数共享。

• 代码：

//DFS递归
public void  DFS(int[] visited, int v) {
    visited[v] = 1;
	judgeDFSCount ++;
	for(int i=0; i

BFS判断：

• 从一个结点开始，访问与其关联的所有结点，将这些结点入队，重复此过程，直至队列为空。访问的结点构成一个连通分量，若该连通分量未包含所有结点，则无向图不连通。

• 算法步骤及相关分析：

a)算法步骤：
    从顶点v开始，访问v并置visited[v] = 1，将v入队；
    只要队列不空，就重复一下操作：
    队首顶点v出队；
    依次查找v所有邻接点w，如果visited[w]值为0，则访问w并置visited[w] = 1，将w放入队列中；
    进行判断，遍历visited数组，若有一个值不为1，则图就不连通。
b)时间复杂度：BFS的时间复杂度主要是耗费在搜索邻接点上，与DFS类型，复杂度也是O(V^2)。
c)空间复杂度：使用一个队列以及辅助数组visited[]，空间复杂度也是O(V)。

• 代码：

此处Queue类为自写的，可简单实现。

//BFS判断
public boolean BFS() {
	int count = 0 ;							//由于BFS不用递归，所以定义局部变量
	boolean flag = false;
	Queue Q = new Queue();				    //使用队列进行BFS
	visited = new int[this.vertexNum];		//记录结点被访问情况
	Q.add(0);								//首先访问0号结点
	while(!Q.isEmpty()) {       			//队列未空进行如下操作
		int s = Q.front();					//首先队首出列，并获取队首元素
		Q.remove();
		visited[s] = 1;						//队首被访问 
		count ++;							//更新count值
		for(int j=0; j

Warshell判断：

• 图中点与点之间构成边，也可以理解为存在边的两个结点之间存在关系，那么就可以使用Warshell算法求这些关系的传递闭包。Warshell算法更改矩阵的依据实质上是关系的继承，若结点i与结点j之间有边，那么结点 i 就继承结点 j 的连通关系。

• 主要算法步骤及相关分析：

a)算法步骤：
    复制邻接矩阵给矩阵A，即令A = M ；
    置变量i = 1；
    对所有j如果A[j,i] = 1，则k = 1,2,3,…,n
        A[j,k] = A[j,k] + A[i,k];
    i加1；
    如果i <= n，则转步骤（3），否则进入下一步判断；
    判断矩阵A，A中所有值都为1则无向图连通，否则不连通。
b)时间复杂度：代码的主要时间开销在矩阵的计算上，复杂度为O(V^3)。
c)空间复杂度：空间开销在于需要一个邻接矩阵的复制矩阵，复杂度为O(V^2)。

• 代码：

由于Java不支持整型的逻辑运算，所以针对上述算法步骤中的步骤3，需要构造一个与邻接矩阵（0-1）对应的Boolean型数组。

或者步骤三的逻辑或直接化成整型的“+”，最后仍是判断矩阵是否存在0。

//Warshell算法判断可达性矩阵
public boolean Warshell() {
	int count = 0;							//计算关键步运行次数以判断时间复杂度
	boolean flag = true;
	boolean[][] tmp = new boolean[this.vertexNum][this.vertexNum];
	for(int i=0; i改进尝试：
  
   
  
其实这个改进效果并不好，而且其本事仍存在问题。解决简单问题没问题，但是图稍微复杂就会出现问题，若有大神有解决方案，请务必指教。
 
  
改进效果，通过count变量的大小来体现，与上面的Warshell的count相比，有一定改进。
 
  
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由于无向图邻接矩阵的对称性，所以邻接矩阵的一个半角矩阵就包含了结点之间的关系。所以针对Warshell算法，我进行了相关修改，使其只求解一个半角矩阵。
    修改关系的继承规则：若结点i与结点j右边，那么i继承j的连通关系，并将i的连通关系同赋给j。
    改进关键步骤：
        对所有j，j∈[1,i]，i∈[2,n]，如果A[i,j] = 1，则对k∈[1,i]
            // A[i,k] = A[i,k] + A[j,k];  		//承载j列关系
            // A[i,k] = A[i,k] + A[k,j];			//承载j行关系
            A[i,k] = A[i,k] + A[j,k] + A[k.j]; 	//合并以上两行
            A[j,k] = A[j,k] + A[i,k];			//j与i的关系保持一样
    改进后：
        时间复杂度上，核心的的计算代码从n^3改进为n(n+1)(2n+1)/3，有一定改进；
        其次，空间复杂度上，图的存储只使用半角矩阵，空间复杂度降低一半，但还是O(V^2)。但就目前来说，仅仅是一次尝试，仍需改进。

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Union-Find判断：
 
  
 
   
 
根据读入的边对进行集合的划分，读入的边对证明是相连的，那么我们就划分到一个集合中，然后读入新的边对就划分到新的集合中，一旦读入的边对（两个顶点）都在同一个集合中出现过，那么证明是相互连通的，如果读入的边对，两个顶点是出现在两个集合中，那么说明这两个集合至少通过该边是可以相连的，那么集合进行合并。重复以上过程，即可得到求解结果。最后只要判断所以结点是否在一个集合就可得到图是否连通，若在一个集合，则图连通，反之不连通。
 
 
   
 
算法步骤及相关分析：
 
 
  
 
  
a)算法：
    unionFindJudge()：使用并查集进行集合判断
    关键代码：
        for(int j = 1; j
 
  
 
   
 
代码：
 
 
  
 
  
Union-Find，并查集类的实现请参考以下博文：http://www.cnblogs.com/noKing/p/8018609.html
 
  
public boolean UnionFindJudge() {
	boolean flag = true;
	for(int j = 1; j
 
  
Tarjan判断：
 
  
 
   
该算法可以用来求有向图的强连通分量。在无向图中，两点之间的连通其实等价于有向图中的强连通，都是互相可达的概念。所以，就可以使用Tarjan算法来得到无向图的“强”连通分量。如果无向图只有一个“强”连通分量，那么这个图就是一个连通图。
 
   
 
主要算法步骤及相关分析：
 
 
  
 
  
dfn[]：记录一个结点的搜索次序；
 
  
low[]：记录结点或结点所在的子树能够追溯到的最早的栈中结点的次序号
 
  
其实就是结点i，被访问的时间戳就是dfn[i]，low[i]是其所在强连通分量的根。如果这两个值相等，说明i就是树根，那么栈中i上面的元素都是这个强连通分量的元素。
 
  
中间的具体操作，实现原理请自己查阅。
 
  
 
   
 
代码：
 
 
  
 
  
​​​​​​​此处判断依据是：进行一次判断，得到一个强连通分量，如果这个强连通分量的个数与图的点个数想法，就是连通图。
 
  
本次代码使用数组模拟栈，读者可自由发挥，知道需要用到栈即可。
 
  
 
   
 
public boolean tarjan() {
    judgeTarjanCount = 0;					//记录一个连通分量的结点数
	top = -1; t =0;							//top为栈顶，t为访问结点的时间，全局变量

	tarjan(0)；							    //从0号结点开始，只访问一个连通分量

	if(judgeTarjanCount == this.vertexNum)	//如果该连通分量的结点数与图总结点数
		return true;						//相同，那么图就是连通的
	else									//否则不连通
		return false;
}
private void tarjan(int current) {
	dfn[current] = low[current] = ++ t;			//赋初值，为当前时间戳
	z[++top]=current;  					        //入栈，用数组模拟栈
	dist[current] = 1;  						//标记current已在栈中
	for(int i=0;ilow[i])		//low[current]=min{low[current],low[i]}
					low[current] = low[i];
			}else if(dist[i] == 1 && low[current] > dfn[i]) {	//若在栈中
				low[current] = dfn[i]; 		
                                             //low[current]=min{low[current],dfn[i]}
			}
		}
	}
	if(low[current] == dfn[current]) {			//如果相等，说明是连通分量
		do {									    //将连通分量出栈
			judgeTarjanCount ++;			        //记录连通分量的结点个数
		}while(z[top--] != current);			
	}
}