关路灯

标签：区间dp。

1. 状态量

设：\(f[i][j][0 / 1]\) 是在区间\([i, j]\)内老王在左端点\((0)\)和右端点\((1)\)的情况。

2. 转移方程。

由状态量定义可得，我们进行转移是，一定是从这个区间少一个路灯的区间来进行转移。于是有：

\[f[i][j][0] = min \begin{cases} \sum_{i = 1, i \not \in [i + 1, j]}^{n} P[i] \\ f[i+1][j][1] + dis(i, j) * \sum_{i = 1, i \not \in [i + 1, j]}^{n} P[i] \\ \end{cases}\]

\[f[i][j][1] = min \begin{cases} f[i][j - 1][1] + dis(j - 1, j) * \sum_{i = 1, i \not \in [i, j - 1]}^{n} P[i] \\ f[i+1][j][1] + dis(i, j) * \sum_{i = 1, i \not \in [i, j - 1]}^{n} P[i] \\ \end{cases}\]

3. 特别注意

(1)当且仅当，$ i <= c \ and \ c <= j $时， 可以转移， 不然就是inf。
至于为什么，自己脑补一下老王行走时的画面(瞬移)

(2)关于我一开始做这道题时没有过来的点。

-> f[b][e][0] sum[n] - sum[e] + sum[b]
-> f[b][e][1] sum[n] - sum[e - 1] + sum[b - 1]

后来想了一下， 是因为在转移的过程中，i， 或j端同样在耗能。

4. 代码

#include
using namespace std;
const int maxn = 100 + 5;
int n, c;
int p[maxn], w[maxn], sum[maxn];
int f[maxn][maxn][2]; 
int main(){
	cin >> n >> c;
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		cin >> p[i] >> w[i];
		sum[i] = sum[i - 1] + w[i];
	}
	
	for(int i = 1;i <= n;i ++){
		for(int b = 1, e; (e = b + i - 1) <= n;b ++){
			if(b <= c && e >= c){
				f[b][e][0] = min (
					f[b + 1][e][0] + (p[b + 1] - p[b]) * (sum[n] - sum[e] + sum[b]),
					f[b + 1][e][1] + (p[e] - p[b]) * (sum[n] - sum[e] + sum[b])
				);
				f[b][e][1] = min (
					f[b][e - 1][1] + (p[e] - p[e - 1]) * (sum[n] - sum[e - 1] + sum[b - 1]),
					f[b][e - 1][0] + (p[e] - p[b]) * (sum[n] - sum[e - 1] + sum[b - 1])	
				);
			} else {
				f[b][e][0] = f[b][e][1] = 1e9;
			}
		}
	}
	cout << min(f[1][n][0], f[1][n][1]) << endl;
	return 0;
} 

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