数论好题。。 香!
首先我们看到这一题, 题意是
\[a + c * x \equiv b (mod \ \ 2 ^ k) \]
对此式移一下项, 得
\[c * x \equiv b - a (mod \ \ 2 ^ k) \]
此时原式为标准线性同余方程。
\(exgcd\)解得\(x\)后,x 要做如下处理 :
设\(g = gcd(b - a, 2 ^ k), k = 2 ^ k, d = b - a\)
1#. \(x = x * (d / g)\), 此时求得一组特解(因为\(exgcd\)解出的是\(RHS = gcd\)时的解,所以需要乘倍数)
2#. \(x = (x \% (k / g) + k / g) % (k / g)\), 此时求得最小正整数解。
\(\text{TIP : 1. 本题无需开int64 2. 1# 无需加%k}\)
#include
#include
#include
#define int long long
using namespace std;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if(b == 0) {
x = 1;
y = 0;
return a;
}
int g = exgcd(b, a % b, x, y);
int tmp = x;
x = y;
y = tmp - (a / b) * y;
return g;
}
signed main(){
long long A, B, C, K;
while (cin >> A >> B >> C >> K) {
int a = A, b = B, c = C, k = K, x, y;
x = 0, y = 0;
if(!a && !b && !c && !k)
break;
k = pow(2, k);
int d = b - a;
int g = exgcd(c, k, x, y);
if(d % g) {
puts("FOREVER");
} else {
x = x * (d / g);
printf("%lld\n", (x % (k / g) + k / g) % (k / g));
}
}
return 0;
}
/*
2 4 6 3
11 27 20 5
850 1350 430 11
262135 352675 222524 19
0 0 0 0
*/