AOE网络-关键路径
拓扑排序的另一个应用就是关键路径的问题，关键路径对应的是另一种网络：AOE网络。先回顾下拓扑排序中讲到的AOV网络，AOV网络即“Activity On Vertex”，即图上每一个顶点表示的是一个事件或者说一个活动，而顶点之间的有向边则表示这两个活动发生的先后顺序。
在关键路径这个问题中，AOE网络指的是“Activity On Edge”，即图上的每一条边表示的是一个活动，顶点作为各个“入度边事件”的汇集点，意思是，某个顶点，当所有的“入度边事件”的活动全部完成后，才开始进行该顶点的“出度边事件”。在AOE网络中只有一个入度为零的点，称作源头顶点，和一个出度为零的目的顶点。AOE网络通常用来安排一些项目的工序。
上图表示的就是AOE网络中的，有向边上方表示该活动的持续时间，也就是完成该活动要多长时间，有向边下方表示该活动的机动时间，机动时间是什么呢，下面等拿例子来讲解时再解释。顶点里又分为三部分，一部分是存放顶点的编号，另外两部分分别存放活动的最早完成时间（即到达该点用时最短），和最晚完成时间（即到达该点用时最长）。
下面根据一个具体的例子来看到底什么是AOE网络和关键路径：
在下面的有向无环图中，V1是源头顶点（即开始点），到V10结束，每一条边代表一个活动，有向边的方向表示活动完成后到达哪一个汇集点。有向边上方表示的是活动完成所需要的时间（也是持续时间）。假设活动a7和a8想要开始，那么必须等到活动a4和a5都完成后，a7和a8才能开始。
还有一种更复杂的情况是：如果活动a7和a8要开始，必须要等活动a4、a5和a6都完成后，才能开始a7和a8活动（因为在AOE网络中有些活动是可以并行地进行的）。这样的情况怎么办？我们不可以把V5和V6顶点连接起来，为什么？因为我们看a9这个活动，它的开始与否和活动a4，a5均无关系，活动a9只需等待活动a6完成他就可以开始了，所以如果我们把V5和V6顶点连接起来，是不行的。那要怎么办？方法是用一个无向虚线（标记线）把V5和V6连接，边上的权值设为0，如图：
接着根据这个有向无环图，我们看看从开始到结束整个工程活动需要的最短时间是多少？答案是从开始点出发到完成点的最长路径的长度（这里的最长路径长度指的是路径上各个活动持续时间之和，不是指路径上边的数目）。从开始点到结束点的最长路径就叫做关键路径。从开始结点V1开始，它的最早完成时间自然是0了，然后到V2结点，V2结点的最早完成时间是5，同理V3结点最早需要4天完成，V4结点最早需要6天完成。
接着到下一组，从V4到V6顶点，活动a6需要7天，所以V6上填上6+7=13，也就是说到达V6需要最早完成时间是13天。对于V5这个顶点，它的完成时间有三个，分别是5+3=8，4+2=6和13+0=13。这里我们就要选一个最大的填进去，因为V5的“出度边事件”要进行，也就是活动a7和a8要开始的话，必须等齐a4，a5和a6三个活动结束后才能开始，所以在a4、a5和a6中选一个完成时间最大的，就能确保三个活动都能完成。
到这里我们就知道程序大概要怎么写了：
首先我们需要一个Earliest[ ]数组来存放每一个顶点的最早完成时间，Earliest[ 1 ]=0代表的就是开始结点V1的最早完成时间是0，对于图中每一个顶点对
按照这个思路，我们可以把图里接下来的顶点的完成时间都填好：
到最后V10结束结点等于29，也就是说整个图的所有活动的最短完成时间是29天。
最后到来看看这个图中活动的机动时间，什么是机动时间呢，就是指图中这些活动中，有哪些活动是一直进行下去的，没有休息时间的。例如活动a10需要3天完成，而获得a11需要2天，则a11有1天的休息时间等待a10完成，a11的这一天休息时间就是所谓的“机动时间”。
我们用e（i）来表示活动ai的最早完成时间，l（i）表示ai的最迟开始时间，机动时间要怎么算呢？看图来说，我们从结束结点开始倒推，在保证整个工期都不推迟的情况下，也就是第29天开始，反推回去，看结点V9，活动a12需要5天，就是说在保证整个工期能在29天完成的情况下，V9的最晚开始时间（也就是最迟完成时间）是29-5=24，就是说活动a12最迟必须在第24天就要开始工作了。V7结点和V8结点同理，V7结点最迟必须在第24-3=21天就开始工作，V8结点最迟必须在第24-2=22天开始就工作。
接着看V5结点，从V8倒推到V5，就是22-7=15，a8活动最迟第15天就要开始工作。而从V7倒推到V5的话，21-8=13，a8活动最迟第13天就要开始工作，这里出现两个不同的值，怎么选？答案是选最小值13，因为如果选择第15天开工，那么对于活动a7来说，就延迟了两天开工了，这样就不能保证后面能在29天内完成整个工程，所以遇到两种不同的最晚开始时间时，我们要选最小的，这样才能保证整个工期不被延误。
同样的，看V6结点，从V8结点倒推到V6结点，22-5=17天，也就是活动a9的最迟开始时间可以是在第17天时才开工？答案是不行的，因为V6结点和V5结点有个虚线连着呢，V6结点，也就是活动a9的最迟开始时间同样是13天。
从这里就可以看出我们的求机动时间的倒推时的推断是，需要一个Latest[ ]数组存放每一个结点的最迟开始时间，一开始初始化结束结点的Latest[ 10 ]=Earliest[ 1 ]，也就是29。然后倒推时，Latest[ i ]就等于Last[ j ]-C
按照这个推断，就可以把剩下的顶点的最晚开始时间都算出来：
V1顶点有三种选择，V2到V1等于5，V3到V1等于7，V4到V1等于0，因为我们要选择最小值，所以V1填上0。
最后来看看每个结点的机动时间，我们从头开始看，活动a1需要工作5天才完成，到达V2结点中，最迟开始时间是10，也就是说活动a4最迟在第10天开始工作都不会耽误整个工期，而a1从第0天开始只需工作5天就能完成，所以活动a1的机动时间就是10-0-5=5，五天。活动a2最迟在第11天开始工作就可以了，而活动a2只需要4天就可以完成，所以a2的机动时间是11-0-4=7，七天。活动a3等于6-0-6=0，所以活动a3机动时间等于0，也就是说活动a3完成后就要开始下一个活动了，中间没有“休息时间”。
同理可看出，a4的机动时间是13-5-3=5。a5的机动时间是13-4-2=9。a6是13-6-7=0。这样我们就可以把所有的机动时间都算出来：
我们假设用e(i)表示活动ai的最早开始时间，用l(i)表示活动的最迟开始时间，那么两者之差l(i)-e(i)表示活动ai的机动时间，把e(i)=l(i)的活动我们称为“关键活动”。关键路径上所有的活动都是关键活动。回到关键路径的问题，关键路径有可能不止一条。所以找出关键路径即找出路径上所有活动都是关键活动的路径即可。
/*拓扑排序*/
bool TopSort(ListGraphNode MyGraph, Vertex TopOrder[])
{
/*TopOrder[]数组用来顺序存储排序后的顶点的下标*/
/*在拓扑排序完成后直接顺序输出TopOrder[]里的元*/
/*素就能得到拓扑排序序列*/
int i;
int Indegree[MaxVertex], cnt;/*Indegree数组是图中顶点的入度,cnt是计数器*/
Vertex V;/*扫描V顶点的邻接点*/
PtrlPointNode W; /*邻接表方式表示图*/
Queue PtrQ=Start();
for (i=0; iData[i]=-1;
}
/*初始化入度数组*/
for (V=0; Vnumv; V++) {
Indegree[V]=0;
}
/*遍历图,得到图中入各顶点的入度情况并存入Indegree数组中*/
for (V=0; Vnumv; V++) {
for (W=MyGraph->PL[V].HeadEdge; W; W=W->Next) {
Indegree[W->Tail]++;
}
}
/*将所有入度为0的顶点入列*/
for (V=0; Vnumv; V++) {
if (Indegree[V]==0) {
Push(PtrQ, V);
}
}
/*开始拓扑排序*/
cnt=0; /*初始化计数器为0*/
while (PtrQ->End!=PtrQ->Head) {
V=Delete(PtrQ);/*出列一个入度为0的顶点*/
TopOrder[cnt++]=V;/*拓扑排序数组里记录该出列顶点的下标*/
/*遍历对于V的每个邻接点W->PL.HeadEdge.index*/
for (W=MyGraph->PL[V].HeadEdge; W; W=W->Next) {
/*若删除V能使该顶点的入度为0*/
if (--Indegree[W->Tail]==0) {
/*把该顶点入列*/
Push(PtrQ, W->Tail);
}
/*同时更新Earliest数组的值*/
if ((Earliest[V]+W->Weight)>Earliest[W->Head]) {
Earliest[W->Tail]=Earliest[V]+W->Weight;
}
}
}
/*最后判断*/
if (cnt!=MyGraph->numv) {
return false;/*说明该图里有回路,返回false*/
} else {
return true;
}
} 在拓扑排序过程中，我们就同时更新Earliest数组，把每一个顶点的最早完成时间填入到数组中。
/*关键路径*/
bool CriticalPath(ListGraphNode MyGraph, int TopOrder[])
{
int k, ee, el;
PtrlPointNode W;
Queue List=Start();
/*得到后面逆序用*/
for (k=0; knumv ; k++) {
Push(List, TopOrder[k]);
}
/*初始化Lastest数组*/
for (k=0; knumv; k++) {
Lastest[k]=Earliest[MyGraph->numv-1];
}
/*开始关键路径*/
while (List->End!=List->Head) {
k=Delete(List);/*出列一个入度为0的顶点*/
/*遍历对于V的每个邻接点W->PL.HeadEdge.index*/
for (W=MyGraph->PL[k].HeadEdge; W; W=W->Next) {
if (Lastest[k]>(Lastest[W->Tail]-W->Weight)) {
Lastest[k]=Lastest[W->Tail]-W->Weight;
}
}
//printf("关键路径为:");
for (k=0; knumv; k++) {
W=MyGraph->PL[k].HeadEdge;
while (W) {
ee=Earliest[k];
el=Lastest[W->Tail]-W->Weight;
if (ee==el) {
/*两值相等说明它们是关键活动*/
printf("v%d--v%d=%d", MyGraph->PL[k].HeadEdge->Tail, MyGraph->PL[W->Head].HeadEdge->Tail, W->Weight);
}
W=W->Next;
}
}
}
} 在关键路径的计算过程中再逆序计算出最迟开始时间即可。
完整代码在个人代码云：
https://gitee.com/justinzeng/codes/9jbqdrhgn8xl31y6vsw2u75