zju3547

题意：给出n(1<=n<=10^8)，求小于n的，求所有与n互质的数字的四次幂的加和是多少。

分析：容斥原理

首先要知道四次幂求和公式，1^4+2^4+...+n^4=n*(n+1)*(2n+1)*(3n^2+3n-1)/30

先求所有小于等于n的数字的四次幂和，然后减去那些不互质的即可。

这个减去的过程用到了容斥原理。

先对n分解质因子，每个不同的质因子只保留一个。

然后分别枚举这些质因子的组合情况，由奇数个因子组成的数要减去，由偶数个因子组成的数要加上。

对于一个因子组合的乘积a，我们需要一次性计算a^4+(2a)^4 + (3a)^4+...

将其转化为a^4 * (1^4+2^4+...)即可。

 

这道题还有一个难点，就是公式中有除法（除以30），却还要进行模运算。

除法是不支持模运算的，因此我们要将除法转化为乘法，除以30变为乘以30的逆元。

逆元的意思是，如果a、b互为mod c下的逆元，则a * b = 1 (mod c)。

求逆元可以用扩展欧几里德gcd(30,MOD,x,y)，把x/gcd(30,MOD)整理到0～MOD-1范围内即为30的逆元。

具体原因查阅扩展欧几里德算法。

#include <cstdio>

using namespace std;



#define D(x) 



const int MOD = (int)(1e9) + 7;

const int MAX_FACTOR = 40;



int n;

int factor_num;

long long factor[MAX_FACTOR];

long long inverse;



//n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30



long long to_forth(long long value)

{

    long long ret = value;

    ret = ret * ret % MOD;

    ret = ret * ret % MOD;

    return ret;

}



long long cal(long long value)

{

    long long num = n / value;

    long long ret = 1;

    ret = ret * num % MOD * (num + 1) % MOD;

    ret = ret * (2 * num + 1) % MOD;

    ret = ret * ((num * num % MOD * 3 % MOD + 3 * num % MOD - 1) % MOD) % MOD;

    if (ret / 30 != ret * inverse % MOD)

    {

        D(printf("#%lld %lld\n", ret / 30, ret * inverse % MOD));

    }else

    {

        D(printf("**\n"));

    }

    ret = ret * inverse % MOD;



    ret = ret * to_forth(value) % MOD;



    return ret;

}



void get_factors()

{

    factor_num = 0;

    int m = n;

    for (int i = 2; i * i <= m; i++)

    {

        if (m % i == 0)

            factor[factor_num++] = i;

        while (m % i == 0)

        {

            m /= i;

        }

    }

    if (m != 1)

    {

        factor[factor_num++] = m;

    }

}



long long work()

{

    long long ans = 0;

    for (int i = 1; i < (1 << factor_num); i++)

    {

        int num = 0;

        long long temp = 1;

        int index = 0;

        for (int mask = 1; mask <= i; mask <<= 1, index++)

        {

            if ((mask & i) == 0)

            {

                continue;

            }

            num++;

            temp *= factor[index];

        }

        D(printf("temp=%lld\n", temp));

        if (num & 1)

            ans += cal(temp);

        else

            ans -= cal(temp);

        ans = (ans % MOD + MOD) % MOD;

    }

    ans = ((cal(1) - ans) % MOD + MOD) % MOD;

    return ans;

}



void gcd_extend(long long a,long long b,long long &g,long long &x,long long &y)

{

    if (!b)

    {

        g = a;

        x = 1;

        y = 0;

        return;

    }

    gcd_extend(b, a % b, g, y, x);

    y -= a / b * x;

}



int main()

{

    long long x, y, g;

    gcd_extend(30, MOD, g, x, y);

    D(printf("%lld %lld %lld\n", x, y, g));

    x = (x % MOD + MOD) % MOD;

    inverse = x / g;

    D(printf("%lld\n", inverse));

    D(printf("%lld\n", inverse * 30 % MOD));

    int t;

    scanf("%d", &t);

    while (t--)

    {

        scanf("%d", &n);

        if (n == 1)

        {

            puts("0");

            continue;

        }

        get_factors();

        int ans_int = work();

        printf("%d\n", ans_int);

    }

    return 0;

}

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