运筹系列3：整数规划分支定界法python代码

1. 模型

整数规划的模型与线性规划基本相同，只是额外的添加了部分变量为整数的约束。
我们假设问题为：
Min $cx$
s.t. $Ax\le b$
$A_{eq}x=b_{eq}$
$x\in Z$

2. 求解步骤

整数规划求解的基本框架是分支定界法（Branch and bound，BnB）。首先去除整数约束得到“松弛模型”，使用线性规划的方法求解。若有某个变量不是整数，在松弛模型上分别添加约束：

x ≤ floor(A)

和

x ≥ ceil(A)

然后再分别求解，这个过程叫做分支。当节点求解结果中所有变量都是整数时，停止分支。这样不断迭代，形成了一棵树。
所谓的定界，指的是叶子节点产生后，相当于给问题定了一个下界。之后在求解过程中一旦某个节点的目标函数值小于这个下界，那就直接pass，不用再进行分支了；每次新产生叶子节点，则更新下界。
伪代码如下：

3. python算法实现

import math
from scipy.optimize import linprog
import sys

def integerPro(c, A, b, Aeq, beq,t=1.0E-12):
	res = linprog(c, A_ub=A, b_ub=b, A_eq=Aeq, b_eq=beq)
    bestVal = sys.maxsize
    bestX = res.x
    if not(type(res.x) is float or res.status != 0): 
        bestVal = sum([x*y for x,y in zip(c, bestX)])
    if all(((x-math.floor(x))t and (math.ceil(x)-x)>t][0]
        newCon1 = [0]*len(A[0])
        newCon2 = [0]*len(A[0])
        newCon1[ind] = -1
        newCon2[ind] = 1
        newA1 = A.copy()
        newA2 = A.copy()
        newA1.append(newCon1)
        newA2.append(newCon2)
        newB1 = b.copy()
        newB2 = b.copy()
        newB1.append(-math.ceil(bestX[ind]))
        newB2.append(math.floor(bestX[ind]))
        r1 = integerPro(c, newA1, newB1, Aeq, beq)
        r2 = integerPro(c, newA2, newB2, Aeq, beq)
        if r1[0] < r2[0]:
            return r1
        else:
            return r2

例子：输入

c = [3,4,1]
A = [[-1,-6,-2],[-2,0,0]]
b = [-5,-3]
Aeq = [[0,0,0]]
beq = [0]
print(integerPro(c, A, b, Aeq, beq))

输出

(8.0, array([2., 0., 2.]))

其中8是目标函数值，2，0，2是3个整数变量的值。

4. 官方文档示例图解

求解问题为：

4.1 求解松弛问题

4.2 对小数变量进行分支

4.3 迭代，剪枝

4.4 继续迭代

4.5 继续迭代，完成搜索