2018牛客暑期多校第一场B（组合数学dp）

链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/139/B
来源：牛客网

题面：Symmetric Matrix

Count the number of n x n matrices A satisfying the following condition modulo m.
* Ai, j ∈ {0, 1, 2} for all 1 ≤ i, j ≤ n.
* Ai, j = Aj, i for all 1 ≤ i, j ≤ n.
* Ai, 1 + Ai, 2 + ... + Ai, n = 2 for all 1 ≤ i ≤ n.
* A1, 1 = A2, 2 = ... = An, n = 0.

输入描述:

The input consists of several test cases and is terminated by end-of-file.
Each test case contains two integers n and m.

输出描述:

For each test case, print an integer which denotes the result.

输入

3 1000000000
100000 1000000000

输出

1
507109376

备注:

* 1 ≤ n ≤ 105
* 1 ≤ m ≤ 109
* The sum of n does not exceed 107.

题目描述：

在一个N*N的矩阵中填入0、1、2，对角线只能填0，要求是对称矩阵，并且每一行的数加和都为2

给出N，问满足以上要求的矩阵有多少个。

可将矩阵看成一个无向图，那么这个要求就变成了无向图中每个点的度都为2，可以重边，不能有自环。

所以这个无向图就是若干个多元环（包括2元环）。看成求n个点形成若干个环的方案数

用f(n)表示满足要求的矩阵个数，显然f(1)=0,f(2)=1,f(3)=1.

当n大于3时，考虑一般情况的f(n)：

图中已经有n-1个点，现在要加入第n个点（以下称为新点）。

①拿开n-2个点，方案数是

剩下一个点与新点组成二元环，只有一种方案。

所以该情况方案数为

②拿开k个点(2<=k<=n-3)，方案数是
剩下n-1-k个点与新点组成n-k元环，n-k个球的顺时针环排列方案数为 (n-1-k)!，在无向图中，环的顺时针与逆时针同一个排列是同一个图（123顺时针串联和逆时针串联是同一个图），所以n-k个点的环排列方案数为(n-1-k)!/2。

圆排列方案数-百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E5%9C%86%E6%8E%92%E5%88%97

所以该情况方案数为

总结：由以上①和②可得：

                     记为③

③式中令n=n-1，并左右同时乘以n-1得：

    即：

           记为④

③-④化简整理可得：

O(n)递推即可得出答案

代码：

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include