《数论概论》读书笔记 第23章 二次剩余

什么叫二次剩余，其实就是对于给定的 p(p∈P)和n ，如果有 x 满足 x2≡n(modp) ，那么 n 在模 p 意义下就是二次剩余。其实就是模意义下能否开根号。

我们先定义 Fp ，这是一个数域，其实就是 0 到 p−1 这 p 个数与模 p 意义下加减乘除运算构成的集合。

定理1：对于 x2≡n(modp)， 总共有 p−12 个的 n 能使该方程有解（将 n=0 情况除去，由于该情况显然有 x=0 ）。
证明：我们只用考虑所有 x2 。如果存在不同的两个数 u、v， 它们的平方在模 p 意义下同余，那么显然有 p|(u2−v2) 。由平方差公式 p|(u+v)(u−v) 。显然 p 不可能整除 u−v ，因此 p 整除 u+v ，因此 u+v≡0(modp) 。这个结论反过来也是成立的，因此共有 p−12 种互不相同的平方，显然对应了所有有解的 n ，而且同一个 n 还一定存在两个互为相反数的解。

Description:

求解 x2≡n(modp) 。 p 是一个奇质数。

Solution:
由费马小定理:
              np−1≡1(modp)
所以:
              np−12≡±1(modp)

由欧拉准则:
              (np)≡np−12(modp)
其中:
              (np) 为勒让德符号。

因为 x≡n12(modp) ，所以有 xp−1≡np−12≡1(modp) 。即:

              (np)=⎧⎩⎨⎪⎪1−10n在模p意义下是二次剩余n在模p意义下不是二次剩余n≡0(modp)

设:
              k=a2−n,ω=k√

则该方程的解为:
              x≡(a+ω)p+12(modp)

证明：若 k 是该模意义下的非二次剩余，
则:
              wp−1=np−12=−1 。

同时:
              (a+b)p≡ap+bp(modp)

则:

x21≡≡≡≡≡≡≡≡(a+ω)p+1(a+ω)p(a+ω)(ap+ωp)(a+ω)(ap−1a+ωp−1ω)(a+ω)(a−ω)(a+ω)a2−ω2a2−(a2−n)n(modp)

另一解为:
              x2≡−x1(modp)

如何找到这个 k 呢。因为非二次剩余的个数大约有一半，随机几次即可。

话不多说，可以参考资料：
ACdreamer 二次同余方程的解
二次剩余Cipolla算法学习小记