数学物理方法 07 行波法

 

§7.1 

物理模型:无界弦的自由震动

7.1.1 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt =a 2 u xx ,<x<(1)u| t=0 =φ(x),<x<(2)u t | t=0 =ψ(x),<x<(3)  

7.1.2 

1.:仿 
2.(1): 
{ξ=(x+at)η=(xat) {x=(1/2)(ξ+η)t=(1/2a)(ξη)  
(1): 2 ξη u(ξ,η)=0(1)   
u(ξ,η)=f 1 (ξ)+f 2 (η)(4) 
:u(x,t)=f 1 (x+at)+f 2 (xat)(5) 

3.: 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt =a 2 u xx ,<x<(1)u| t=0 =φ(x),<x<(2)u t | t=0 =ψ(x),<x<(3)  
u(x,t)=f 1 (x+at)+f 2 (xat)(5) 

D`Alembert公式:
u(x,t)=12 [φ(x+at)+φ(xat)]+12a  x+at xat ψ(α)dα(6) 

7.1.3 

1. 
(1). 
u t =a2 [φ  (x+at)φ  (xat)]+12a [ x+at xat ψt dα+aψ(x+at)+aψ(xat)] 
u tt =a 2 2 [φ  (x+at)+φ  (xat)]+a2 [ψ  (x+at)ψ  (xat)] 
u x =12 [φ  (x+at)+φ  (xat)]+12a [ψ(x+at)ψ(xat)] 
u xx =12 [φ  (x+at)+φ  (xat)]+12a [ψ  (x+at)ψ  (xat)] 

(2). 
(3): 
u| t=0 ={φ 1 (x)φ 2 (x) ;u t | t=0 ={ψ 1 (x)ψ 2 (x) ;|φ 1 φ 2 |δ,|ψ 1 ψ 2 |δ 
|u 1 u 2 |12 |φ 1 (x+at)φ 2 (x+at)+φ 1 (xat)φ 2 (xat)|+12a |x+at xat [ψ 1 (α)ψ 2 (α)dα| 
12 δ+12 δ+12a δ[(x+at)(xat)]=δ[1+t] 
: 

2.: 
(1)ψ=0,u(x,t)=12 [φ(x+at)+φ(xat)]: 
φ(xat):a沿x. 
φ(x+at):a沿x. 
(2)φ=0,ψ(x)=1a  x x 0  ψ(α)dα: 
:u(x,t)=12 [ψ(x+at)ψ(xat)] 
: 

7.1.4 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt a 2 u xx =0u(x,0)=sinxu t (x,0)=x 2   
:sinxcosat+t3 (3x 2 +a 2 t 2 ) 

§7.2 

bxt0(lx) 
{ tt =a 2 u xx +bxt,<x<u| t=0 =0,u t | t=0 =lx u(x,t)=? 

7.2.1 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt =a 2 u xx +f(x,t)(1)u| t=0 =0(2)u t | t=0 =0(3)  

7.2.2 

1. 
. 

: 
线线 
L线Lu=f线线 
(1)Lu i =f i (i=1,2,,n),u= i=1 n c i u i ,Lu= i=1 n c i f i  
(2)Lu i =f i (i=1,2,,n),u= i=1 n c i u i Lu= i=1  c i f i  
(3)Lu=f(M,M 0 ),U=u(M,M 0 )dM 0 LU=f(M,M 0 )dM 0  

2.f(x,t) 
(1)f(x,t)=f(x,τ),0<τ<t 
u(x,t)=lim Δτ0  τ=0 w(x,t;τ) 
(2)f(x,τ)Δτ 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ w tt a 2 w xx =0τ<t<τ+Δτw| t=τ =0w t | t=τ =f(x,τ)Δτ  
w(x,t;τ)=v(x,t;τ)Δτ 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ w tt a 2 w xx =0w| t=τ =0w t | t=τ =f(x,τ)Δτ ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ v tt a 2 v xx =0(4)v| t=τ =0(5)v t | t=τ =f(x,τ)(6)  
(3)u(x,t)= t 0 v(x,t;τ)dτ 

3.: 
u(x,t)=12a  t 0  x+a(tτ) xa(tτ) f(α,τ)dαdτ 

7.2.3 

: 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt =u xx +xu(x,0)=0u t (x,0)=0  
:u(x,t)=12  t 0  x+(tτ) x(tτ) αdαdτ=12 xt 2  

§7.3 

R1p 0 p 
:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p tt a 2 Δp=0p| t=0 ={p 0 ,R<10,R>1 p t | t=0 =0  

7.3.1 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt =a 2 Δu(1)u| t=0 =φ(M)(2)u t | t=0 =ψ(M)(3) M=M(x,y,z)<x,y,z< 

7.3.2 

1.: 
§7.1 

2.: 
(1) 
u ¯ (r,t)=14πr 2   S M 0  r  uds=14π  S M 0  r  udΩ 
u(M,t)M 0 rS M 0  r .,dΩ=ds/r 2 =sinθdθdφ. 
(2):u(M 0 ,t 0 )=lim r0,tt 0  u ¯ (r,t) 
u(M 0 ,t 0 ),u ¯ (r,t) 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x  =x+rsinθcosφy  =y+rsinθsinφz  =z+rcosθ  
r=(x  x) 2 +(y  y) 2 +(z  z) 2  − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −    

3.: 
14pi  S u tt dΩ=a4π  S ΔudΩ 
 2 t 2  14π  S udΩ=a 2 Δ(14π  S udΩ) 
u ¯ (r,t) tt =a 2 Δu ¯ (r,t) 
Δu= 2 ux 2  + 2 uy 2  + 2 uz 2   
Δu ¯ = 2 u ¯ x 2  + 2 u ¯ y 2  + 2 u ¯ z 2   

u ¯ x =u ¯ r rx =u ¯ r xx 0 r  
 2 u ¯ x 2  =u ¯ r r 2 (xx 0 ) 2 r 3  + 2 u ¯ r 2  (xx 0 r ) 2  
 2 u ¯ y 2  =u ¯ r r 2 (yy 0 ) 2 r 3  + 2 u ¯ r 2  (yy 0 r ) 2  
 2 u ¯ z 2  =u ¯ r r 2 (zz 0 ) 2 r 3  + 2 u ¯ r 2  (zz 0 r ) 2  
Δu ¯ =2r u ¯ r + 2 u ¯ r 2  =1r  2 r 2  (ru ¯ ) 
(ru ¯ )=v(r,t),u tt =a 2 Δuv tt =a 2 v rr  
v(r,t)=f 1 (r+at)+f 2 (rat) 
v(r,t)v(0,t)=0 
f 1 (at)+f 2 (at)=0 
f  1 (at)=f  2 (at) 
u(M 0 ,t 0 )=lim r0 u ¯ (r,t 0 )=lim r0 v(r,t)r =2f  (at 0 ) 

4.(Poisson) 
r (ru ¯ )=f  1 (r+at)+f  2 (rat) 
1a t (ru ¯ )=f  1 (r+at)f  2 (rat) 
r=at 0 ,t=0 
2f  (at 0 )=14πa [t  S M at  φ(M  )at ds+ S M at  ψ(M  )at ds] 
u(M,t)=14πa [t  S M at  φ(M  )at ds+ S M at  ψ(M  )at ds] 
S M at Mat; 
M 

你可能感兴趣的:(数学物理方法,数学物理方法)