数学物理方法 07 行波法

第七章行波法 

§7.1达朗贝尔公式 

物理模型:无界弦的自由震动

7.1.1定解问题 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt =a 2 u xx ,−∞<x<∞(1)u| t=0 =φ(x),−∞<x<∞(2)u t | t=0 =ψ(x),−∞<x<∞(3)  

7.1.2求解 

1.思路:仿照求解常微分方程的先求通解，再用初始条件求特解的方法。 
2.引入坐标变换求(1)的通解: 
选择{ξ=(x+at)η=(x−at) 即{x=(1/2)(ξ+η)t=(1/2a)(ξ−η)  
则方程(1)化为:∂ 2 ∂ξ∂η u(ξ,η)=0(1) ′  
u(ξ,η)=f 1 (ξ)+f 2 (η)(4) 
通解:u(x,t)=f 1 (x+at)+f 2 (x−at)(5) 

3.用初始条件定特解: 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt =a 2 u xx ,−∞<x<∞(1)u| t=0 =φ(x),−∞<x<∞(2)u t | t=0 =ψ(x),−∞<x<∞(3)  
u(x,t)=f 1 (x+at)+f 2 (x−at)(5) 

D`Alembert公式:
u(x,t)=12 [φ(x+at)+φ(x−at)]+12a ∫ x+at x−at ψ(α)dα(6) 

7.1.3分析解答 

1.适定性： 
(1)达朗贝尔公式存在. 
u t =a2 [φ ′ (x+at)−φ ′ (x−at)]+12a [∫ x+at x−at ∂ψ∂t dα+a⋅ψ(x+at)+aψ(x−at)] 
u tt =a 2 2 [φ ′′ (x+at)+φ ′′ (x−at)]+a2 [ψ ′ (x+at)−ψ ′ (x−at)] 
u x =12 [φ ′ (x+at)+φ ′ (x−at)]+12a [ψ(x+at)−ψ(x−at)] 
u xx =12 [φ ′′ (x+at)+φ ′′ (x−at)]+12a [ψ ′ (x+at)−ψ ′ (x−at)] 

(2)任意性已由初始条件唯一确定. 
(3)稳定性:设 
u| t=0 ={φ 1 (x)φ 2 (x) ;u t | t=0 ={ψ 1 (x)ψ 2 (x) ;|φ 1 −φ 2 |≤δ,|ψ 1 −ψ 2 |≤δ 
|u 1 −u 2 |≤12 |φ 1 (x+at)−φ 2 (x+at)+φ 1 (x−at)−φ 2 (x−at)|+12a |∫x+at x−at [ψ 1 (α)−ψ 2 (α)dα| 
≤12 δ+12 δ+12a δ[(x+at)−(x−at)]=δ[1+t] 
结论:达朗贝尔公式存在、唯一、稳定。即：适定。 

2.物理意义: 
(1)设ψ=0,即u(x,t)=12 [φ(x+at)+φ(x−at)]: 
φ(x−at):以速度a沿x轴正向传播的波−−正波. 
φ(x+at):以速度为a沿x轴反向传播的波−−反波. 
(2)设φ=0,ψ(x)=1a ∫ x x 0  ψ(α)dα: 
则:u(x,t)=12 [ψ(x+at)−ψ(x−at)] 
结论:达朗贝尔解表示正行波和反波的叠加。 

7.1.4例题 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt −a 2 u xx =0u(x,0)=sinxu t (x,0)=x 2   
答:sinxcosat+t3 (3x 2 +a 2 t 2 ) 

§7.2纯强迫震动 

一无限长的均匀弦，因受其力密度为bxt的外力作用做振幅及其微小的横震动。若弦的初位移为0，初速度为(l−x)，试求该弦的震动规律。 
{ tt =a 2 u xx +bxt,−∞<x<∞u| t=0 =0,u t | t=0 =l−x u(x,t)=? 

7.2.1定解问题 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt =a 2 u xx +f(x,t)(1)u| t=0 =0(2)u t | t=0 =0(3)  

7.2.2求解 

1.思路： 
化有源问题为无源问题，利用达朗贝尔公式求解. 

叠加原理:在物理学中研究问题时，常将几种不同原因综合所产生的效果，用这些不同原因单独产生的效果的累加来代替，这就是叠加原理。 
在数学上：叠加原理对应于线性方程或线性定解条件。 
设L为线性微分算符，则Lu=f表示线性方程或线性定解条件。 
(1)若Lu i =f i (i=1,2,⋯,n),且u=∑ i=1 n c i u i ,则Lu=∑ i=1 n c i f i  
(2)若Lu i =f i (i=1,2,⋯,n),且u=∑ i=1 n c i u i 一致收敛，则Lu=∑ i=1 ∞ c i f i  
(3)若Lu=f(M,M 0 ),且U=∫u(M,M 0 )dM 0 一致收敛，则LU=∫f(M,M 0 )dM 0  

2.分析源f(x,t)的作用情况 
(1)f(x,t)=∑f(x,τ),0<τ<t 
u(x,t)=lim Δτ→0 ∑ τ=0 w(x,t;τ) 
(2)f(x,τ)在Δτ时间间隔内引起的震动为 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ w tt −a 2 w xx =0τ<t<τ+Δτw| t=τ =0w t | t=τ =f(x,τ)Δτ  
设：w(x,t;τ)=v(x,t;τ)Δτ 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ w tt −a 2 w xx =0w| t=τ =0w t | t=τ =f(x,τ)Δτ →⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ v tt −a 2 v xx =0(4)v| t=τ =0(5)v t | t=τ =f(x,τ)(6)  
(3)u(x,t)=∫ t 0 v(x,t;τ)dτ 

3.纯强迫震动的解: 
u(x,t)=12a ∫ t 0 ∫ x+a(t−τ) x−a(t−τ) f(α,τ)dαdτ 

7.2.3例题 

求解初值问题: 
⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt =u xx +xu(x,0)=0u t (x,0)=0  
解:u(x,t)=12 ∫ t 0 ∫ x+(t−τ) x−(t−τ) αdαdτ=12 xt 2  

§7.3三维无界波动问题 

设大气中有一个半径R为1的球形薄膜，薄膜内的压强超过大气压的数值为p 0 ，假设薄膜突然消失，试求求外任意位置的附加压强p。 
定解问题:⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ p tt −a 2 Δp=0p| t=0 ={p 0 ,R<10,R>1 p t | t=0 =0  

7.3.1定解问题 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ u tt =a 2 Δu(1)u| t=0 =φ(M)(2)u t | t=0 =ψ(M)(3) M=M(x,y,z)−∞<x,y,z<∞ 

7.3.2求解 

1.思路: 
化三维问题为一维问题，利用§7.1的方法和结果求解。 

2.平均值方法: 
(1)定义： 
u ¯ (r,t)=14πr 2  ∬ S M 0  r  uds=14π ∬ S M 0  r  udΩ 
称为函数u(M,t)在以M 0 为中心，r为半径的球面S M 0  r 上的平均值.其中,dΩ=ds/r 2 =sinθdθdφ为立体角元. 
(2)有定义可知:u(M 0 ,t 0 )=lim r→0,t→t 0  u ¯ (r,t) 
∵要求u(M 0 ,t 0 ),只需求u ¯ (r,t)即可−−平均值方法 

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ x ′ =x+rsinθcosφy ′ =y+rsinθsinφz ′ =z+rcosθ  
r=(x ′ −x) 2 +(y ′ −y) 2 +(z ′ −z) 2  − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −  √  

3.求波动方程的通解: 
14pi ∬ S u tt dΩ=a4π ∬ S ΔudΩ 
∂ 2 ∂t 2  14π ∬ S udΩ=a 2 Δ(14π ∬ S udΩ) 
u ¯ (r,t) tt =a 2 Δu ¯ (r,t) 
在直角坐标系中：Δu=∂ 2 u∂x 2  +∂ 2 u∂y 2  +∂ 2 u∂z 2   
→Δu ¯ =∂ 2 u ¯ ∂x 2  +∂ 2 u ¯ ∂y 2  +∂ 2 u ¯ ∂z 2   

∂u ¯ ∂x =∂u ¯ ∂r ∂r∂x =∂u ¯ ∂r x−x 0 r  
∂ 2 u ¯ ∂x 2  =∂u ¯ ∂r r 2 −(x−x 0 ) 2 r 3  +∂ 2 u ¯ ∂r 2  (x−x 0 r ) 2  
∂ 2 u ¯ ∂y 2  =∂u ¯ ∂r r 2 −(y−y 0 ) 2 r 3  +∂ 2 u ¯ ∂r 2  (y−y 0 r ) 2  
∂ 2 u ¯ ∂z 2  =∂u ¯ ∂r r 2 −(z−z 0 ) 2 r 3  +∂ 2 u ¯ ∂r 2  (z−z 0 r ) 2  
→Δu ¯ =2r ∂u ¯ ∂r +∂ 2 u ¯ ∂r 2  =1r ∂ 2 ∂r 2  (ru ¯ ) 
令(ru ¯ )=v(r,t),则u tt =a 2 Δu→v tt =a 2 v rr  
→v(r,t)=f 1 (r+at)+f 2 (r−at) 
由v(r,t)有v(0,t)=0→ 
f 1 (at)+f 2 (−at)=0→ 
f ′ 1 (at)=f ′ 2 (−at) 
u(M 0 ,t 0 )=lim r→0 u ¯ (r,t 0 )=lim r→0 v(r,t)r =2f ′ (at 0 ) 

4.三维波动问题的解−−泊松(Poisson)公式 
∂∂r (ru ¯ )=f ′ 1 (r+at)+f ′ 2 (r−at) 
1a ∂∂t (ru ¯ )=f ′ 1 (r+at)−f ′ 2 (r−at) 
取r=at 0 ,t=0代入初始条件得 
2f ′ (at 0 )=14πa [∂∂t ∬ S M at  φ(M ′ )at ds+∬ S M at  ψ(M ′ )at ds] 
u(M,t)=14πa [∂∂t ∬ S M at  φ(M ′ )at ds+∬ S M at  ψ(M ′ )at ds]−−泊松公式 
S M at −以M为中心at为半径的球面; 
M