数值分析——Gauss-Legendre 求积分(Matlab实现)
2020 4.4
题目:编写Gauss求积法计算积分的程序（Gauss点数取1,2,3,4,5即可）并用于计算积分
∫ 0 1 sin x x d x \int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} d x ∫01xsinxdx
部分高斯-勒让德求积公式的结点和求积系数:
n x k A k n x k A k 0 0 2 3 ± 0.8611363116 0.3478548451 1 ± 0.5773502692 1 ± 0.3399810436 0.6521451549 2 ± 0.7745966692 0.5555555555 4 ± 0.9061798459 0.2369268851 0 0.8888888888 ± 0.5384693101 0.4786286705 0 0.568888889 \begin{array}{ccc||ccc} \hline n & x_{k} & A_{k} & n & x_{k} & A_{k} \\ \hline 0 & 0 & 2 & 3 & \pm 0.8611363116 & 0.3478548451 \\ 1 & \pm 0.5773502692 & 1 & &\pm 0.3399810436 & 0.6521451549 \\ 2 & \pm 0.7745966692 & 0.5555555555 & 4 & \pm 0.9061798459 & 0.2369268851 \\ & 0 & 0.8888888888 & & \pm 0.5384693101 & 0.4786286705 \\ & & & &0& 0.568888889 \\ \hline \end{array} n012xk0±0.5773502692±0.77459666920Ak210.55555555550.8888888888n34xk±0.8611363116±0.3399810436±0.9061798459±0.53846931010Ak0.34785484510.65214515490.23692688510.47862867050.568888889
区间变换与函数变换:
区间[a,b]->[-1,1]:
x = 1 2 ( a + b ) + 1 2 ( b − a ) t x=\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(b-a) t x=21(a+b)+21(b−a)t
函数变换:
∫ a b f ( x ) d x = b − a 2 ∫ − 1 1 f [ 1 2 ( a + b ) + 1 2 ( b − a ) t ] d t \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\frac{b-a}{2} \int_{-1}^{1} f\left[\frac{1}{2}(a+b)+\frac{1}{2}(b-a) t\right] \mathrm{d} t ∫abf(x)dx=2b−a∫−11f[21(a+b)+21(b−a)t]dt
具体实现
function [f1,I] = GaussInt(f,a,b,n)
%该函数利用Gauss-Lagendre求积公式计算积分
%依次输入函数,左右区间端点,和结点个数进行计算高斯积分
syms t
f1=subs(f,symvar(f),(b+a)/2+(b-a)*t/2)*(b-a)/2;
switch n %分别代表不同结点个数时的Gauss积分
case 1
I=eval(2*subs(f1,symvar(f1),0));
case 2
I=eval(subs(f1,symvar(f1),0.5773503))+...
eval(subs(f1,symvar(f1),-0.5773503));
case 3
I=0.5555555555*eval(subs(f1,symvar(f1),0.7745966692))+...
0.5555555555*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.7745966692))+...
0.8888888888*eval(subs(f1,symvar(f1),0));
case 4
I=0.3478548451*eval(subs(f1,symvar(f1),0.8611363116))+...
0.3478548451*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.8611363116))+...
0.6521451549*eval(subs(f1,symvar(f1),0.3399810436))+...
0.6521451549*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.3399810436));
case 5
I=0.2369268851*eval(subs(f1,symvar(f1),0.9061798459))+...
0.2369268851*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.9061798459))+...
0.4786286705*eval(subs(f1,symvar(f1),0.5384693101))+...
0.4786286705*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.5384693101))+...
0.568888889*eval(subs(f1,symvar(f1),0));
end
踩坑日志
错误:
>> [F,I]=GaussInt(sin(x)/x, 0, 1,1)
数组索引必须为正整数或逻辑值。
出错 sym/subsref (line 870)
R_tilde = builtin('subsref',L_tilde,Idx);
原因:
I=2*f1(0);
应该f1是一个符号表达式而不是一个函数
错误:
>> [F,I]=GaussInt(sin(x)/x, 0, 1,1)
未定义函数或变量 'x'。
出错 GaussInt (line 5)
f1=subs(f,x,(b-a)/2+(b-a)*t/2)*(b-a)/2;
原因:
syms x
所编写的函数中没有定义变量x
改进:
f1=subs(f,symvar(f),(b-a)/2+(b-a)*t/2)*(b-a)/2;
这样可以不用声明变量
学到的matlab语法
matlab代码注释
%
快速:
Ctrl +t
Ctrl+ r
switch多分支结构
switch n %分别代表不同结点个数时的Gauss积分
case 1
I=eval(2*subs(f1,symvar(f1),0));
case 2
I=eval(subs(f1,symvar(f1),0.5773503))+...
eval(subs(f1,symvar(f1),-0.5773503));
case 3
I=0.5555555555*eval(subs(f1,symvar(f1),0.7745966692))+...
0.5555555555*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.7745966692))+...
0.8888888888*eval(subs(f1,symvar(f1),0));
case 4
I=0.3478548451*eval(subs(f1,symvar(f1),0.8611363116))+...
0.3478548451*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.8611363116))+...
0.6521451549*eval(subs(f1,symvar(f1),0.3399810436))+...
0.6521451549*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.3399810436));
case 5
I=0.2369268851*eval(subs(f1,symvar(f1),0.9061798459))+...
0.2369268851*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.9061798459))+...
0.4786286705*eval(subs(f1,symvar(f1),0.5384693101))+...
0.4786286705*eval(subs(f1,symvar(f1),-0.5384693101))+...
0.568888889*eval(subs(f1,symvar(f1),0));
otherwise
disp("结点数为1-5")
end
matlab函数的编写
在MATLAB中，函数定义在单独的文件。文件函数的文件名应该是相同的。
函数可以接受多个输入参数和可能返回多个输出参数。
函数语句的语法是：
function [out1,out2, ..., outN] = myfun(in1,in2,in3, ..., inN)
例:
建立函数文件，命名为 mymax.m并输入下面的代码：
function max = mymax(n1, n2, n3, n4, n5)
%This function calculates the maximum of the
% five numbers given as input
max = n1;
if(n2 > max)
max = n2;
end
if(n3 > max)
max = n3;
end
if(n4 > max)
max = n4;
end
if(n5 > max)
max = n5;
end
每个函数的第一行要以 function 关键字开始。它给出了函数的名称和参数的顺序。
在我们的例子中，mymax 函数有5个输入参数和一个输出参数。
注释行语句的功能后提供的帮助文本。这些线条打印，当输入：
help mymax
MATLAB执行上述语句，返回以下结果：
This function calculates the maximum of the
five numbers given as input
可以调用该函数：
mymax(34, 78, 89, 23, 11)
MATLAB执行上述语句，返回以下结果：
ans =
89
注:如果要输出多个返回值:
>> [F,I]=GaussInt(sin(x)/x, 0, 1,2)
F =
sin(t/2 + 1/2)/(2*(t/2 + 1/2))
I =
0.946041135536224
一种matlab的数据类型能够存储变长的一维向量:
刚开始想把结点和系数存储起来用循环进行对应的遍历
A=[1,2,3,4];
B=[5];
C=[6,7];
p={A,B,C}
以下运行结果：
>> p{1}(1,2)
ans =
2
元胞数组