鱼眼相机成像模型学习

0.前言

相机将三维世界中的坐标点（单位为米）映射到二维图像平面（单位为像素），这个过程可以用一个几何模型进行描述，其中最简单的一个模型称为针孔模型。之所以说它简单，是因为这是个线性变换；但是实际的相机上因为透镜的存在，会使光线投影到成像平面的过程中产生畸变，增加了非线性的变换过程。

1.针孔相机模型

首先不考虑畸变，建立图1所示针孔相机成像模型。

                                                                     图1 小孔成像模型与相机坐标系

又是包含一堆公式的推导，贴图大法走起。

这里需要注意的有两点：1）像素坐标系中一般以左上角为原点，向右为x轴正方向，向下为y轴正方向，乍一看像是左手坐标系，实则不然，此时还是右手坐标系。2）上述方程的推导是建立在图1所示的相机坐标系的基础上；如果我们定义的相机坐标系不是图中的那样（譬如Z轴向上之类的），则不能直接套用该公式

2.鱼眼相机模型

小孔成像模型简单易懂，但实际相机中成像模型往往更复杂。假如使用小孔成像模型制造相机，则其视场角不会很大（想象一下cmos底片很小且焦距固定的情况）。而我们实际使用中甚至有视场角达到180°的鱼眼相机，使用小孔成像模型是绝对做不到的，其中实现的方式就是引入了组合透镜。

 

                                                                                          图2 鱼眼相机成像

以鱼眼相机为例，为了获取更加宽广的视野，使用组合透镜，使入射光线经过不同程度的折射投影到成像平面，使得鱼眼镜头相比于普通镜头拥有了更大的视野范围。

                                                                                  图3 鱼眼镜头成像简化模型

这张示例图能更佳清晰地说明鱼眼镜头是如何扩大摄像头视场角的：光线经过透镜后发生了折射，再投影至相平面。假设光线的入射角为θ，成像像高为r，人们对其中的转换关系提出了多种模型。

这里主要讨论等距投影模型，并结合图4推导相机坐标系到成像坐标系的变换。相机坐标系中点P投影至透镜上点P1，再经过“折射”映射到点p。这里认为“折射”发生后，点p仍然位于直线PP1和Z轴构成的平面上，即成像平面中原点到点p的向量与x轴的夹角等于相机坐标系中向量P1P与X轴的夹角，成像平面中原点到点p的向量与y轴的夹角等于相机坐标系中向量P1P与Y轴的夹角。

                                                                           图4 鱼眼镜头成像推导