逐步理解GB, GBDT, XGBoost

GBDT和xgboost在竞赛和工业界使用都非常频繁，能有效的应用到分类、回归、排序问题，虽然使用起来不难，但是要能完整的理解还是有一点麻烦的。本文尝试一步一步梳理GB、GBDT、xgboost，它们之间有非常紧密的联系，GBDT是以决策树（CART）为基学习器的GB算法，xgboost扩展和改进了GDBT，xgboost算法更快，准确率也相对高一些。

1. Gradient boosting(GB)

  机器学习中的学习算法的目标是为了优化或者说最小化loss Function， Gradient boosting的思想是迭代生多个（M个）弱的模型，然后将每个弱模型的预测结果相加，后面的模型Fm+1(x)基于前面学习模型的Fm(x)的效果生成的，关系如下：

1 \le m \le M

 ![F_{m+1}(x) = F_m(x) + h(x)](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/1629944-fb858ef52eeb1e2e.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240)

  GB算法的思想很简单，关键是怎么生成h(x)?

  如果目标函数是回归问题的均方误差，很容易想到最理想的h(x)应该是能够完全拟合![y - F_m(x)](http://upload-images.jianshu.io/upload_images/1629944-f0765829d0f5064d.png?imageMogr2/auto-orient/strip%7CimageView2/2/w/1240)

，这就是常说基于残差的学习。残差学习在回归问题中可以很好的使用，但是为了一般性（分类，排序问题），实际中往往是基于loss Function 在函数空间的的负梯度学习，对于回归问题

\frac{1}{2}(y - F(x))^2

残差和负梯度也是相同的。

L(y, f)

中的f，不要理解为传统意义上的函数，而是一个函数向量

! f(x_1), \ldots, f(x_n)

，向量中元素的个数与训练样本的个数相同，因此基于Loss Function函数空间的负梯度的学习也称为“伪残差”。

GB算法的步骤：

1.初始化模型为常数值：

F_0(x) = \underset{\gamma}{\arg\min} \sum_{i=1}^n L(y_i, \gamma).

2.迭代生成M个基学习器

1.计算伪残差

r_{im} = -\left[\frac{\partial L(y_i, F(x_i))}{\partial F(x_i)}\right]_{F(x)=F_{m-1}(x)} \quad \mbox{for } i=1,\ldots,n.

2.基于

{(x_i, r_{im})}_{i=1}^n

生成基学习器

! h_m(x)

3.计算最优的

! \gamma_m

\gamma_m = \underset{\gamma}{\operatorname{arg,min}} \sum_{i=1}^n L\left(y_i, F_{m-1}(x_i) + \gamma h_m(x_i)\right).

  　　4.更新模型

F_m(x) = F_{m-1}(x) + \gamma_m h_m(x).

2. Gradient boosting Decision Tree(GBDT)

GB算法中最典型的基学习器是决策树，尤其是CART，正如名字的含义，GBDT是GB和DT的结合。要注意的是这里的决策树是回归树，GBDT中的决策树是个弱模型，深度较小一般不会超过5，叶子节点的数量也不会超过10，对于生成的每棵决策树乘上比较小的缩减系数（学习率<0.1），有些GBDT的实现加入了随机抽样（subsample 0.5<=f <=0.8）提高模型的泛化能力。通过交叉验证的方法选择最优的参数。因此GBDT实际的核心问题变成怎么基于

{(x_i, r_{im})}_{i=1}^n

使用CART回归树生成

! h_m(x)

？

CART分类树在很多书籍和资料中介绍比较多，但是再次强调GDBT中使用的是回归树。作为对比，先说分类树，我们知道CART是二叉树，CART分类树在每次分枝时，是穷举每一个feature的每一个阈值，根据GINI系数找到使不纯性降低最大的的feature以及其阀值，然后按照feature<=阈值，和feature>阈值分成的两个分枝，每个分支包含符合分支条件的样本。用同样方法继续分枝直到该分支下的所有样本都属于统一类别，或达到预设的终止条件，若最终叶子节点中的类别不唯一，则以多数人的类别作为该叶子节点的性别。回归树总体流程也是类似，不过在每个节点（不一定是叶子节点）都会得一个预测值，以年龄为例，该预测值等于属于这个节点的所有人年龄的平均值。分枝时穷举每一个feature的每个阈值找最好的分割点，但衡量最好的标准不再是GINI系数，而是最小化均方差--即（每个人的年龄-预测年龄）^2 的总和 / N，或者说是每个人的预测误差平方和 除以 N。这很好理解，被预测出错的人数越多，错的越离谱，均方差就越大，通过最小化均方差能够找到最靠谱的分枝依据。分枝直到每个叶子节点上人的年龄都唯一（这太难了）或者达到预设的终止条件（如叶子个数上限），若最终叶子节点上人的年龄不唯一，则以该节点上所有人的平均年龄做为该叶子节点的预测年龄。

3. Xgboost

Xgboost是GB算法的高效实现，xgboost中的基学习器除了可以是CART（gbtree）也可以是线性分类器（gblinear）。下面所有的内容来自原始paper，包括公式。

(1). xgboost在目标函数中显示的加上了正则化项，基学习为CART时，正则化项与树的叶子节点的数量T和叶子节点的值有关。

image

(2). GB中使用Loss Function对f(x)的一阶导数计算出伪残差用于学习生成fm(x)，xgboost不仅使用到了一阶导数，还使用二阶导数。

第t次的loss：

image

对上式做二阶泰勒展开：g为一阶导数，h为二阶导数

image

(3). 上面提到CART回归树中寻找最佳分割点的衡量标准是最小化均方差，xgboost寻找分割点的标准是最大化，lamda，gama与正则化项相关

image

xgboost算法的步骤和GB基本相同，都是首先初始化为一个常数，gb是根据一阶导数ri，xgboost是根据一阶导数gi和二阶导数hi，迭代生成基学习器，相加更新学习器。

xgboost与gdbt除了上述三点的不同，xgboost在实现时还做了许多优化：

• 在寻找最佳分割点时，考虑传统的枚举每个特征的所有可能分割点的贪心法效率太低，xgboost实现了一种近似的算法。大致的思想是根据百分位法列举几个可能成为分割点的候选者，然后从候选者中根据上面求分割点的公式计算找出最佳的分割点。
• xgboost考虑了训练数据为稀疏值的情况，可以为缺失值或者指定的值指定分支的默认方向，这能大大提升算法的效率，paper提到50倍。
• 特征列排序后以块的形式存储在内存中，在迭代中可以重复使用；虽然boosting算法迭代必须串行，但是在处理每个特征列时可以做到并行。
• 按照特征列方式存储能优化寻找最佳的分割点，但是当以行计算梯度数据时会导致内存的不连续访问，严重时会导致cache miss，降低算法效率。paper中提到，可先将数据收集到线程内部的buffer，然后再计算，提高算法的效率。
• xgboost 还考虑了当数据量比较大，内存不够时怎么有效的使用磁盘，主要是结合多线程、数据压缩、分片的方法，尽可能的提高算法的效率。

参考资料：

1. 维基百科 Gradient boosting

2. XGBoost: A Scalable Tree Boosting System

3. 陈天奇的slides

4. xgboost导读和实战.pdf

文件转自: http://www.cnblogs.com/wxquare/p/5541414.html

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