滤波器原理

滤波器原理

滤波器是一种选频装置，可以使信号中特定的频率成分通过，而极大地衰减其它频率成分。在测试装置中，利用滤波器的这种选频作用，可以滤除干扰噪声或进行频谱分析。

广义地讲，任何一种信息传输的通道（媒质）都可视为是一种滤波器。因为，任何装置的响应特性都是激励频率的函数，都可用频域函数描述其传输特性。因此，构成测试系统的任何一个环节，诸如机械系统、电气网络、仪器仪表甚至连接导线等等，都将在一定频率范围内，按其频域特性，对所通过的信号进行变换与处理。

本文所述内容属于模拟滤波范围。主要介绍模拟滤波器原理、种类、数学模型、主要参数、ＲＣ滤波器设计。尽管数字滤波技术已得到广泛应用，但模拟滤波在自动检测、自动控制以及电子测量仪器中仍被广泛应用。　带通滤波器

二、滤波器分类

⒈根据滤波器的选频作用分类

⑴　低通滤波器

　从0～f₂频率之间，幅频特性平直，它可以使信号中低于f₂的频率成分几乎不受衰减地通过，而高于f₂的频率成分受到极大地衰减。

⑵　高通滤波器

与低通滤波相反，从频率f₁～∞，其幅频特性平直。它使信号中高于f₁的频率成分几乎不受衰减地通过，而低于f₁的频率成分将受到极大地衰减。

⑶　带通滤波器

它的通频带在f₁～f₂之间。它使信号中高于f₁而低于f₂的频率成分可以不受衰减地通过，而其它成分受到衰减。

⑷　带阻滤波器

与带通滤波相反，阻带在频率f₁～f₂之间。它使信号中高于f₁而低于f₂的频率成分受到衰减，其余频率成分的信号几乎不受衰减地通过。

 

 

 

 

 

 

 

 

低通滤波器和高通滤波器是滤波器的两种最基本的形式，其它的滤波器都可以分解为这两种类型的滤波器，例如：低通滤波器与高通滤波器的串联为带通滤波器，低通滤波器与高通滤波器的并联为带阻滤波器。

低通滤波器与高通滤波器的串联

低通滤波器与高通滤波器的并联

⒉　根据“最佳逼近特性”标准分类

⑴　巴特沃斯滤波器

从幅频特性提出要求，而不考虑相频特性。巴特沃斯滤波器具有最大平坦幅度特性，其幅频响应表达式为：

 

⑵　切比雪夫滤波器

切贝雪夫滤波器也是从幅频特性方面提出逼近要求的，其幅频响应表达式为：

 

 

 

ε是决定通带波纹大小的系数，波纹的产生是由于实际滤波网络中含有电抗元件；T_n是第一类切贝雪夫多项式。

与巴特沃斯逼近特性相比较，这种特性虽然在通带内有起伏，但对同样的n值在进入阻带以后衰减更陡峭，更接近理想情况。ε值越小，通带起伏越小，截止频率点衰减的分贝值也越小，但进入阻带后衰减特性变化缓慢。切贝雪夫滤波器与巴特沃斯滤波器进行比较，切贝雪夫滤波器的通带有波纹，过渡带轻陡直，因此，在不允许通带内有纹波的情况下，巴特沃斯型更可取；从相频响应来看，巴特沃斯型要优于切贝雪夫型，通过上面二图比较可以看出，前者的相频响应更接近于直线。

⑶　贝塞尔滤波器

只满足相频特性而不关心幅频特性。贝塞尔滤波器又称最平时延或恒时延滤波器。其相移和频率成正比，即为一线性关系。但是由于它的幅频特性欠佳，而往往限制了它的应用。

二、理想滤波器

理想滤波器是指能使通带内信号的幅值和相位都不失真，阻带内的频率成分都衰减为零的滤波器，其通带和阻带之间有明显的分界线。也就是说，理想滤波器在通带内的幅频特性应为常数，相频特性的斜率为常值；在通带外的幅频特性应为零。

理想低通滤波器的频率响应函数为:

 

 

 

 

其幅频及相频特性曲线为：

分析上式所表示的频率特性可知，该滤波器在时域内的脉冲响应函数 h（t）为 sinc函数，图形如下图所示。脉冲响应的波形沿横坐标左、右无限延伸，从图中可以看出，在t=0时刻单位脉冲输入滤波器之前，即在t<0时，滤波器就已经有响应了。显然，这是一种非因果关系，在物理上是不能实现的。这说明在截止频率处呈现直角锐变的幅频特性，或者说在频域内用矩形窗函数描述的理想滤波器是不可能存在的。实际滤波器的频域图形不会在某个频率上完全截止，而会逐渐衰减并延伸到∞。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

三、实际滤波器

⒈　实际滤波器的基本参数

理想滤波器是不存在的，在实际滤波器的幅频特性图中，通带和阻带之间应没有严格的界限。在通带和阻带之间存在一个过渡带。在过渡带内的频率成分不会被完全抑制，只会受到不同程度的衰减。当然，希望过渡带越窄越好，也就是希望对通带外的频率成分衰减得越快、越多越好。因此，在设计实际滤波器时，总是通过各种方法使其尽量逼近理想滤波器。

如图所示为理想带通（虚线）和实际带通（实线）滤波器的幅频特性。由图中可见，理想滤波器的特性只需用截止频率描述，而实际滤波器的特性曲线无明显的转折点，两截止频率之间的幅频特性也非常数，故需用更多参数来描述。

⑴　纹波幅度d

在一定频率范围内，实际滤波器的幅频特性可能呈波纹变化，其波动幅度d与幅频特性的平均值A₀相比，越小越好，一般应远小于-3dB。

⑵　截止频率f_c

幅频特性值等于0.707A₀所对应的频率称为滤波器的截止频率。以A₀为参考值，0.707A₀对应于-3dB点，即相对于A₀衰减3dB。若以信号的幅值平方表示信号功率，则所对应的点正好是半功率点。

⑶　带宽B和品质因数Q值

上下两截止频率之间的频率范围称为滤波器带宽，或-3dB带宽，单位为Hz。带宽决定着滤波器分离信号中相邻频率成分的能力——频率分辨力。在电工学中，通常用Q代表谐振回路的品质因数。在二阶振荡环节中，Q值相当于谐振点的幅值增益系数， Q=1/2ξ（ξ——阻尼率）。对于带通滤波器，通常把中心频率f₀（）和带宽 B之比称为滤波器的品质因数Q。例如一个中心频率为500Hz的滤波器，若其中-3dB带宽为10Hz，则称其Q值为50。Q值越大，表明滤波器频率分辨力越高。

⑷　倍频程选择性W

在两截止频率外侧，实际滤波器有一个过渡带，这个过渡带的幅频曲线倾斜程度表明了幅频特性衰减的快慢，它决定着滤波器对带宽外频率成分衰阻的能力。通常用倍频程选择性来表征。所谓倍频程选择性，是指在上截止频率f_c2与 2f_c2之间，或者在下截止频率f_c1与f_c1/2之间幅频特性的衰减值，即频率变化一个倍频程时的衰减量

 

 

或

 

 

 

倍频程衰减量以dB/oct表示（octave，倍频程）。显然，衰减越快（即W值越大），滤波器的选择性越好。对于远离截止频率的衰减率也可用10倍频程衰减数表示之。即［dB／10oct］。

⑸　滤波器因数（或矩形系数）

滤波器因数是滤波器选择性的另一种表示方式 ，它是利用滤波器幅频特性的 -60dB带宽与-3dB带宽的比值来衡量滤波器选择性，记作 ，即

理想滤波器 =1，常用滤波器 =1－5，显然， 越接近于1，滤波器选择性越好。

四、RC无源滤波器

在测试系统中，常用RC滤波器。因为在这一领域中，信号频率相对来说不高。而RC滤波器电路简单，抗干扰性强，有较好的低频性能，并且选用标准的阻容元件，所以在工程测试的领域中最经常用到的滤波器是RC滤波器。

⒈　一阶RC低通滤波器

RC低通滤波器的电路及其幅频、相频特性如下图所示

设滤波器的输入电压为e_x，输出电压为e_y，电路的微分方程为

 

 

这是一个典型的一阶系统。令=RC，称为时间常数，对上式取拉氏变换，有

或

其幅频、相频特性公式为：

 

 

分析可知，当f很小时，A(f)=1，信号不受衰减地通过；当f很大时，A(f)=0，信号完全被阻挡，不能通过。低通滤波器的上载止频率

⒉　一阶RC高通滤波器

RC高通滤波器的电路及其幅频、相频特性如下图所示

设滤波器的输入电压为e_x输出电压为e_y，电路的微分方程为：

 

 

同理，令=RC，对上式取拉氏变换，有：

 

　或　

 

其幅频、相频特性公式为：

 

 

 

 

 

分析可知，当f很小时，A(f)=0，信号完全被阻挡，不能通过；当f很大时，A(f)=1，信号不受衰减的通过。

⒊　RC带通滤波器

带通滤波器可以看作为低通滤波器和高通滤波器的串联，其电路及其幅频、相频特性如下图所示。

其幅频、相频特性公式为：

 

式中H₁(s)为高通滤波器的传递函数，H₂(s)为低通滤波器的传递函数。有：

 

 

这时极低和极高的频率成分都完全被阻挡，不能通过；只有位于频率通带内的信号频率成分能通过。

下截止频率:

上截止频率:

应注意，当高、低通两级串联时，应消除两级耦合时的相互影响，因为后一级成为前一级的“负载”，而前一级又是后一级的信号源内阻。实际上两级间常用射极输出器或者用运算放大器进行隔离。所以实际的带通滤波器常常是有源的。有源滤波器由RC调谐网络和运算放大器组成。运算放大器既可起级间隔离作用，又可起信号幅值的放大作用。

五、模拟滤波器的应用

模拟滤波器在测试系统或专用仪器仪表中是一种常用的变换装置。例如带通滤波器用作频谱分析仪中的选频装置；低通滤波器用作数字信号分析系统中的抗频混滤波；高通滤波器被用于声发射检测仪中剔除低频干扰噪声；带阻滤波器用作电涡流测振仪中的陷波器等。

用于频谱分析装置中的带通滤波器，可根据中心频率与带宽之间的数值关系，分为两种 

一种是带宽B不随中心频率而变化，称为恒带宽带通滤波器，如图所示，其中心频率处在任何频段上时，带宽都相同；

 

 

 

 

另一种是带宽B与中心频率的比值是不变的，称为恒带宽比带通滤波器，如图所示，其中心频率越高，带宽也越宽。

 

 

 

 

 

 

一般情况下，为使滤波器在任意频段都有良好的频率分辨力，可采用恒带宽带通滤波器（如收音机的选频）。所选带宽越窄，则频率分辨力越高，但这时为覆盖所要检测的整个频率范围，所需要的滤波器数量就很大。因此，在很多时候，恒带宽带通滤波器不一定做成固定中心频率的，而是利用一个参考信号，使滤波器中心频率跟随参考信号的频率而变化。在做信号频谱分析的过程中，参考信号是由可作频率扫描的信号发生器供给的。这种可变中心频率的恒带宽带通滤波器被用于相关滤波和扫描跟踪滤波中。

恒带宽比带通滤波器被用于倍频程频谱分析仪中，这是一种具有不同中心频率的滤波器组，为使各个带通滤波器组合起来后能覆盖整个要分析的信号频率范围，其中心频率与带宽是按一定规律配置的。

假若任一个带通滤波器的下截止频率为f_c1，上截止频率为f_c2，令f_c1与f_c2之间的关系为：

f_c1=2ⁿf_c1

式中n值称为倍频程数，若n=1，称为倍频程滤波器；n=1/3，则称为1/3倍频程滤波器。滤波器的中心频率f₀取为几何平均值，即：

 

根据上述两式，可以得：

 

 

 

则滤波器带宽：

 

 

如果用滤波器的品质因数Q值来表示，则有：

 

 

故倍频程滤波器，若n=l，则Q=1.41；若n=1/3，则Q=4.38；若n=1/5，则Q=7.2。倍频数n值越小，则Q值越大，表明滤波器分辨力越高。根据上述关系，就可确定出常用倍频程滤波器的中心频率f₀和带宽B值。

为了使被分析信号的频率成分不致丢失，带通滤波器组的中心频率是倍频程关系，同时带宽又需是邻接式的，通常的做法是使前一个滤波器的一3dB上截止频率与后一个滤波器的一3dB下截止频率相一致，如图所示。这样的一组滤波器将覆盖整个频率范围，称之为“邻接式”的。

下图表示了邻接式倍频程滤波器，方框内数字表示各个带通滤波器的中心频率，被分析信号输入后，输入、输出波段开关顺序接通各滤波器，如果信号中有某带通滤波器通频带内的频率成分，那么就可以在显示、记录仪器上观测到这一频率成分。

 

 

 

 

 

 

六、思考题

(1) 已知理想波形器

 

试求，当函数通过到滤波形后的：

1）时域波形

2）频谱

3）为什么说该滤波器的是非因果系统

(2) 试求调幅信号x_a(t)=(1+cost)cos100t通过带通滤波器时的输出信号y_a(t)及其频谱Y_a(w)。带通滤波形的传输特性为:

(3) 调幅波是否可以看做为是载波与调制信号的叠加，为什麽？

(4) 什麽是滤波器的品质因数？它与滤波器频率分辨力有何关系？

(5) 请用一阶RC低通滤波器和RC高通滤波器构成RC带阻滤波器，画出其电路图。

(6) 已知调制信号是幅值为10，周期为１秒的方波信号，载波信号是幅值为１，频率为10Hz正弦波信号。

1)画出已调制波的波形

2)画出已调制波的频谱

(7) 什麽是调制，调制的目的是什麽？
(8) 调频信号与调幅信号有何相同之处？有何不同之处？

(9) 低通、高通、带通、带阻滤波器各有什麽特点，画出它们的理想幅频特性图。

(10) 用Signal VBScript编程，产生习题6的已调制波信号波形，然后再画出同步解调时低通滤波前的波形。