B-树、B+树、B*树浅谈

B-树

B-树就是B树（可能有部分人会习惯上把B-树读为B减树，其实并不存在B减树，只是读法上的不同而已），B就是balanced，平衡的意思。B-树就是指的B树，特此说明一下。
先介绍一下二叉搜索树。

顾名思义，二叉搜索树，即指最多拥有两个叉，这里的叉即为所有非叶子结点的儿子（Lift和Right）；
所有的结点存储一个关键字；
非叶子结点的左指针指向小于其关键字的结点，右指针指向对于其关键字的结点，结构如下图：

二叉搜索树的搜索，从根结点开始，如果查询的关键字与结点关键字相等，则该结点为查询的结点，如果查询关键字比结点关键字小，则进入左子树，反之则进入右子树；如果左子树为空或者右子树为空，则返回查找不到响应的关键字。

B树（B-树），是一种多路搜索树（并非二叉的）：

• 定义任意非叶子节点最多可以有M个儿子节点；且M>2；
• 则根节点的儿子数为：[2，M]；
• 除根节点为的非叶子节点的儿子书为[M/2，M]；
• 每个结点存放至少M/2 - 1 （去上整）且至多M -1 个关键字；（至少为2）；
• 非叶子结点的关键字个数 = 指向子节点的指针书 -1；
• 非叶子节点的关键字：K[1],K[2],K[3],…,K[M-1;且K[i] < K[i +1];
• 非叶子结点的指针：P[1], P[2], …, P[M]；其中P[1]指向关键字小于K[1]的子树，P[M]指向关键字大于K[M-1]的子树，其它P[i]指向关键字属于(K[i-1], K[i])的子树；
• 所有叶子结点位于同一层；

如(M = 3)

B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点；

B-树的特性：

1. 关键字集合分布在整颗树中；
2. 任何一个关键字出现且只出现在一个结点中；
3. 搜索有可能在非叶子结点结束；
4. 其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找；
5. 自动层次控制；

B+树
B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树：

• 其定义基本与B-树相同；
• 非叶子结点的子树指针与关键字个数相同；
• 非叶子结点的子树指针P[i]，指向关键字值属于[K[i], K[i+1])的子树（B-树是开区间）；
• 为所有叶子结点增加一个链指针；
• 所有关键字都在叶子结点出现；

如：（M=3）

B+的搜索与B-树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B-树可以在

非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找；

B+树的特性：

1.所有关键字都出现在叶子结点的链表中（稠密索引），且链表中的关键字恰好是有序的；

2.不可能在非叶子结点命中；

3.非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层；

B*树

B*树是B+树一种变形，它是在B+树的基础上，将索引层以指针连接起来，使搜索取值更加快捷。
如下图（M = 3）：

但是B乘树又在B+树的基础上产生了一系列的变化，如下：

B乘树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3代替B+树的1/2；
B+树的分裂：当一个结点满时，分配一个新的结点，并将原结点中1/2的数据复制到新结点，最后在父结点中增加新结点的指针；B+树的分裂只影响原结点和父结点，而不会影响兄弟结点，所以它不需要指向兄弟的指针；
B乘树的分裂：当一个结点满时，如果它的下一个兄弟结点未满，那么将一部分数据移到兄弟结点中，再在原结点插入关键字，最后修改父结点中兄弟结点的关键字（因为兄弟结点的关键字范围改变了）；如果兄弟也满了，则在原结点与兄弟结点之间增加新结点，并各复制1/3的数据到新结点，最后在父结点增加新结点的指针；
所以B乘树相对于B+树，空间利用率上有所提高，查询速率也有所提高。

总结：

• 二叉搜索树：二叉树，每个结点只存储一个关键字且值大于左子树，小于右子树。
• B（B-）树：多路搜索树，每个结点存储M/2到M个关键字，非叶子结点存储指向关键字范围的子结点； 所有关键字在整颗树
• B+树：在B-树基础上，为叶子结点增加链表指针，所有关键字都在叶子结点中出现，非叶子结点作为叶子结点的索引；B+树总是到叶子结点才命中；
• B*树：在B+树基础上，为非叶子结点也增加链表指针，将结点的最低利用率从1/2提高到2/3；