《Think Python》练习 4-5：用函数画阿基米德螺旋

第4章 案例研究：接口设计

练习 4-5 用函数画阿基米德螺旋

在百度百科阅读关于螺旋线（spiral）的信息，接着编写一段程序来画出阿基米德螺旋（或者其他某种螺旋线）。

【求解】
Step.1 确认组件
由于《Think Python》到本章为止并没有介绍笛卡尔坐标用法，所以本人不会使用笛卡尔坐标来绘制阿基米德螺旋，本解法基于已经出现过的 polyline 函数实现（绝不超纲）。

#多边线
def polyline(t, n, length, angle):
    for i in range(n):
        t.fd(length)
        t.lt(angle)

Step.2 抽象问题

这里提一下 导数 概念：
当函数 $y=f(x)$ 的自变量 $x$ 在一点 $x_0$上产生一个增量 $\Delta x$ 时，函数输出值的增量 $\Delta y$ 与自变量增量 $\Delta x$ 的比值在 $\Delta x$ 趋于 $0$ 时的极限 $a$ 如果存在，$a$ 即为在 $x_0$ 处的导数，记作 $f^{\prime }(x_0)$ 或 $\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$。

函数 polyline(t, n, length, angle) 在模拟曲线时，实际上就是画的一小段一小段很短的切线，将精度调整到肉眼看不大出来的时候，画出来就是“曲线”了（实际上，如你所见《Think Python》练习 4-2：用函数画花朵 中的花朵也坑坑洼洼的）。

而我们现在要做的就是：确认一个微小变量（乌龟每次转过的微小角度），根据阿基米德螺旋公式，计算出在这个微小变量下的短小线段的 长度( $l$ )。

Step.3 问题求解
已知阿基米德螺公式：$r=a+b\theta$
希望乌龟从画布的中间开始画，这样好看点，故去掉起点至画布中心的距离，将阿基米德螺线公式简化为：$r=a\theta$

由阿基米德曲线公式 $r=a\theta$ 可知，当角度增加 $\Delta \theta$，半径从 $a\theta$ 变为 $a(\theta +\Delta \theta )$，即：
$r_1=a\theta$
$r_2=a(\theta +\Delta \theta )$

已知：三角形两边$r_1$、$r_2$ 及夹角 $\Delta \theta$
求：三角形对边 $l$
解：
求高：$h=sin\Delta \theta \cdot r^{\prime }=sin\Delta \theta \cdot a(\theta +\Delta \theta )$
求顶点到高的距离与 $r_1$ 的差：$m=cos\Delta \theta \cdot r^{\prime }-r=cos\Delta \theta \cdot a(\theta +\Delta \theta )-a\theta$
勾股定理求对边 $l$：$l=\sqrt{m^2+h^2}$

Step.4 完成代码

"""
《Think Python》练习 4-5：用函数画阿基米德螺旋(蚊香线)

r = aθ
由于用乌龟画，从中间开始旋转比较好看，故没有考虑起点与坐标原点的距离
绘图精度（乌龟每次转过的微小角度）：Δθ = π/30 = 6°
绘制的阿基米德螺旋线圈数 (不可能让乌龟无限的画下去)：n

theta：阿基米德螺旋角度 θ，从0开始
m：短线条数，根据精度 Δθ 与圈数 n 计算
length：短线长度
angle：短线间的夹角，即精度 Δθ = π/30 = 6°
"""

#引入数学模块、乌龟模块
import math
import turtle

#调用乌龟画图、提高画弧速度
bob = turtle.Turtle()
bob.delya = 0.01

#阿基米德螺旋
def spiral(t, a, n):
    theta = 0
    m = int(n * 60)
    for i in range(m):
        length = math.sqrt( ( math.cos(math.pi/30) * a * ( theta + math.pi/30 ) - a * theta )**2 + ( math.sin(math.pi/30) * a * ( theta + math.pi/30 ) )**2 )
        angle = 6
        t.fd(length)
        t.lt(angle)
        theta = theta + math.pi / 30
        
spiral(bob, 10, 3.25)
turtle.mainloop()

附草稿：