haar小波的举例

小波变换的基本思想是用一组小波函数或者基函数表示一个函数或者信号,例如图像信号。为了理解什么是小波变换,下面用一个具体的例子来说明小波变换的过程。假设有一幅分辨率只有4个像素的一维图像,对应的像素值分别为[9 7 3 5]
  计算它的哈尔小波变换系数: 
(1).求均值(averaging)。计算相邻像素对的平均值,得到一幅分辨率比较低的新图像,它的像素数目变成了2个,即新的图像的分辨率是原来的1/2,相应的像素值为:[8 4]
(2).求差值(diqqerencing)。很明显,用2个像素表示这幅图像时,图像的信息已经部分丢失。为了能够从由2个像素组成的图像重构出由4个像素组成的原始图像,就需要存储一些图像的细节系数,以便在重构时找回丢失的信息。方法是把像素对的第一个像素值减去这个像素对的平均值,或者使用这个像素对的差值除以2。在这个例子中,第一个细节系数是(9-8)=1,因为计算得到的平均值是8,它比9小1而比7大1,存储这个细节系数就可以恢复原始图像的前两个像素值。使用同样的方法,第二个细节系数是(3-4)=-1,存储这个细节系数就可以恢复后2个像素值。因此,原始图像就可以用下面的两个平均值和两个细节系数表示[8 4 1 -1]
(3).重复第1,2步,把由第一步分解得到的图像进一步分解成分辨率更低的图像[6 2 1 -1].
  由此可见,通过上述分解就把由4像素组成的一幅图像用一个平均像素值和三个细节系数表示,这个过程就叫做哈尔小波变换,也称哈尔小波分解(Haar wavelet decomposition)。这个概念可以推广到使用其他小波基的变换。在这个例子中我们可以看到,①变换过程中没有丢失信息,因为能够从所记录的数据中重构出原始图像。②对这个给定的变换,我们可以从所记录的数据中重构出各种分辨率的图像。例如,在分辨率为1的图像基础上重构出分辨率为2的图像,在分辨率为2的图像基础上重构出分辨率为4的图像。③通过变换之后产生的细节系数的幅度值比较小,这就为图像压缩提供了一种途径,例如去掉一些微不足道的细节系数而不影响对重构图像的理解。
  求均值和差值的过程实际上就是一维小波变换的过程,现在用数学方法重新描述小波变换的过程。

个人理解:原本以为小波变换后得到的低频系数与高频系数分别会与原始数据长度一致,其实在一级分解的情况下,一半是低频系数一半是高频系数;而二级的是将一级变换后的低频数据进行再次变换;

【9,7,3,5】为原始数据,一级低频数据为 【8,4】,二级低频以一级低频数据为原始数据,得到【6】;而一级高频数据为【1,-1】,二级高频数据为【2,1,-1】;整个变换流程:【9,7,3,5】转换为低频【8,4】+高频【3,5】;而二级变换为将一级中的低频进行变换,【8,4】转换成【6】与高频的【2】;所以最终结果为:最终低频【6】+一级高频【1,-1】+二级高频【2】,即【6,2,1,-1】

你可能感兴趣的:(ml)