BZOJ - 1009 GT考试 (dp + KMP + 矩阵快速幂)

题目链接

题意：

给你一个长度为 $m$ 的全是由数字构成的序列 $s$，让你找出有多少种长度为 $n$ 的序列里面没有字串 $s$。
$(mod$ $k)$

分析：

先丢出一个相似的题目链接

$dp[i][j]$ 表示构造了 $i$ 个字符，后缀和 $s$ 匹配了 $j$ 位。

那么转移就是

$dp[i][j]$ $=$ ${\sum }_{l=0}^{m-1}dp[i-1][l]\times v[l][j]$

$v[l][j]$ 表示与 $s$ 匹配了 $l$ 位后，在后面填 $0\to 9$ 后变成与 $s$ 匹配 $j$ 位有的情况有多少种。

然后 $n$ 很大，直接递推不行，发现转移是一个矩阵乘法，那么就直接上矩阵快速幂加速递推。

我们可以做个 $kmp$ 的求 $next$ 数组来加速把 $v[i][j]$ 预处理出来。

最后答案就是 ${\sum }_{i=0}^{m-1}ans[0][i]$

记得取模。

代码：

#include 
#include 
using namespace __gnu_cxx;
using namespace std;
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define ALL(x) x.begin(),x.end()
#define pii pair
#define debug(a) cout << #a": " << a << endl;
#define eularMod(a, b) a < b ? a : a % b + b
inline int lowbit(int x){ return x & -x; }
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
const int N = 1e5 + 10;
const long long mod = 1000000007;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const long long LINF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
 
int n, m, MOD;
char s[25];
int nex[25];
 
struct Matrix {
    int mat[25][25];
};
 
Matrix mat_mul (Matrix a, Matrix b, int n) {
    Matrix c;
    mst(c.mat, 0);
 
    for (int k = 0; k < n; k++) {
        for (int i = 0; i < n; i++) if (a.mat[i][k]) {
            for (int j = 0; j < n; j++) if (b.mat[k][j]) {
                c.mat[i][j] += 1LL * a.mat[i][k] * b.mat[k][j] % MOD;
                if (c.mat[i][j] >= MOD)
                    c.mat[i][j] -= MOD;
            }
        }
    }
 
    return c;
}
 
Matrix mat_q_pow (Matrix a, int n, int b) {
    Matrix c;
 
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++)
            c.mat[i][j] = (i == j);
    }
 
    for (; b; b >>= 1) {
        if (b & 1)
            c = mat_mul(c, a, n);
 
        a = mat_mul(a, a, n);
    }
 
    return c;
}
 
int main() {
#ifdef purple_bro
    freopen("in.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt","w",stdout);
#endif
    scanf("%d%d%d%s", &n, &m, &MOD, s);
 
    int j = -1;
 
    nex[0] = -1;
 
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (;j != -1 && s[i] != s[j];)
            j = nex[j];
 
        nex[i + 1] = ++j;
    }
 
    Matrix v;
 
    mst(v.mat, 0);
 
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j <= 9; j++) {
            int to = i;
 
            for (;to != -1 && j != s[to] - '0';)
                to = nex[to];
 
            v.mat[i][++to]++;
        }
    }
 
    Matrix ans = mat_q_pow(v, m, n);
 
    int res = 0;
 
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        res += ans.mat[0][i];
        if (res >= MOD)
            res -= MOD;
    }
 
    printf("%d\n", res);
 
    return 0;
}