Hough变换检测直线到广义霍夫变换

霍夫变换检测直线

原理：

• (x,y)坐标空间的直线，等价于(m,b)坐标空间的一点，等价于（r,θ）坐标空间的一点；

• (x,y)坐标空间的一点，等价于(m,b)坐标空间的一条直线，等价于（r,θ）坐标空间的一条正弦线

注： 转换为r-θ坐标空间，是因为b-m空间在检测垂直线条m->∞和参数的非线性离散化时会遇到困难。

霍夫变换检测圆

原理

• (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

• (a-x)^2 + (b-y)^2 = r^2

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原理同样是转换到参数空间，（x，y）坐标系中经过圆上的一点( x0 , y0 )，在（a,b,r）的参数空间中，就代表一个圆锥,( x0 , y0 )就是圆心。同一个圆上的点，由于r相同设 r0 ，在参数3维空间中，必然在(a,b, r0 )平面上相交于一点；通过这一交点（ a0,b0,ro ）便可得到圆的参数。

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与检测直线的区别：
hough检测直线，在hough空间是正弦线的交点；而检测圆，hough空间是圆的交点；

霍夫变换任意可用方程表示的曲线

对于可以用解析方程描述的曲线，使用hough变换检测曲线的算法描述为：

霍夫变换检测任意形状：广义霍夫变换

原理

用一个例子解释原理：
考虑在一个边缘图像中检测一个已知半径的圆，因为圆是旋转对称的，因此只需考虑平移情况。如果希望在边缘图像中尽可能迅速地找到圆的位置，对于比背景亮的圆，它的边缘梯度向量方向垂直圆边界并指向圆中心，如果圆比背景暗，梯度方向背离圆心。由于我们已知圆的半径，理论上我们可以从圆上单个点确定圆的中心。不幸的是，我们不知道哪个点在圆上。我们注意到圆上所有的像素都拥有同样的特性，这个特性就是基于梯度向量可以构建出圆的中心，这样我们就可以找到圆的位置。

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我们可以用以下步骤完成已知半径圆检测（得到中心坐标）：
1. 创建一个数组累积圆心出现在某个位置的次数，数组初始化为0；
2. 遍历所有边缘点位置、该点的梯度向量以及已知半径求出一个潜在的圆心位置；
3. 将累计数组对应位置的数组值加一
4. 遍历完所有边缘点后，累积数组中将包含所寻找圆心坐标的投票，设定一个阈值可得到圆中心位置；

上述算法运算时间与目标图像边缘点数量成比例，与模板大小无关，与圆的大小无关（只是遍历目标图像边缘点，利用是模板的先验信息）。

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扩展到检测任意形状：
- 任意物体边界上的梯度向量不是必然指向一个参考点；那我们可以建立边缘点信息(梯度方向)与参考点位置（r向量）间的关系表，此表成为R-table；
- 在检测过程中，我们对于给定边缘点信息，我们通过查表然后计算出参考点位置，然后根据投票机制，确定投票最多的位置。
- r向量指参考点到边界点的向量，向量包括大小（r）和方向(α)；因此关系表表示为梯度方向的函数；即φ-r(φ)-α(φ);
由于形状不规则，可能存在每个φ对应多个r向量。

边缘点与参考点之间的计算关系：

实现方法

R表建立详细步骤为：

检测过程：

对于旋转尺度变换的检测：

优缺点

优点：

• 对噪声不敏感
• 容忍轻微变形

缺陷：

• 需要大量的存储空间
• 对于机器视觉应用还不够快，用来搜索对象的累积空间会在很短的时间内变得非常大，但是内部是可以并行的！
• 速度的改进方向有：金字塔加速，减少累积数组的尺寸！

参考资料：

1. Generalized Hough Transform(GHT) Ballard and Brown, section 4.3.4
2. 机器视觉算法与应用
3. http://www.aiseminar.cn/bbs/forum.php?mod=viewthread&tid=1479
4. 图像处理、分析与机器视觉（第三版）