三维坐标系的旋转矩阵

    为了方便自己记忆，记录一下三维坐标旋转矩阵的推导过程。

    坐标的旋转变换在很多地方都会用到，比如机器视觉中的摄像机标定、图像处理中的图像旋转、游戏编程等。

    任何维的旋转可以表述为向量与合适尺寸的方阵的乘积。最终一个旋转等价于在另一个不同坐标系下对点位置的重新表述。坐标系旋转角度θ则等同于将目标点围绕坐标原点反方向旋转同样的角度θ。

    若以坐标系的三个坐标轴X、Y、Z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。

    假设三维坐标系中的某一向量，其在直角坐标系中的图如图1所示。其中点P在XY平面、XZ平面、YZ平面的投影分别为点M、点P、点N。

 

                                              

                                                                  图1 直角坐标系XYZ

    一、绕Z轴旋转θ角

    绕Z轴旋转，相当于在XY平面的投影OM绕原点旋转，如下图所示，OM旋转θ角到OM'。

                                                 

                                                            

                                                                    图2 向量绕Z轴旋转示意图

   设旋转前的坐标为，旋转后的坐标为，则点M的坐标为，点M'的坐标为。由此可得：

                                                                      

                                                  

                                                        

                                                  

                                               

    对于和进行三角展开可得：

                                              

                                              

    且有;可得绕Z轴旋转角的旋转矩阵为：

                         

                                                                   

    二、绕X轴旋旋转θ角

    绕X轴旋转，相当于在YZ平面的投影ON绕原点旋转，如下图所示，ON旋转θ角到ON'。

                                                 

                                                            

                                                                    图3 向量绕X轴旋转示意图

    设旋转前的坐标为，旋转后的坐标为，则点N的坐标为，点N'的坐标为。由此可得：

                                                                      

                                                  

                                                        

                                                  

                                               

    对于和进行三角展开可得：

                                              

                                              

    且有;可得绕X轴旋转角的旋转矩阵为：

                         

                                                                   

    三、 绕Y轴旋旋转θ角

    绕Y轴旋转，相当于 在XZ平面的投影OQ绕原点旋转，如下图所示，OQ旋转 θ角到OQ'。

                                                 

                                                            

                                                                    图4 向量绕Y轴旋转示意图

    设旋转前的坐标为，旋转后的坐标为，则点Q的坐标为，点Q'的坐标为。由此可得：

                                                                      

                                                  

                                                        

                                                  

                                               

    对于和进行三角展开可得：

                                              

                                              

    且有;可得绕Y轴旋转角的旋转矩阵为：

                         

                                                                   

    四、绕X、Y、Z轴旋转的旋转矩阵分别为：

 

                               

                 

    五、总结

    

    啰啰嗦嗦终于打完所有的公式了，其实三个轴会推导其中一个轴的旋转矩阵的话，另外两个轴也类似地可以很容易推导出来。这里给出所有的推导过程只是为了我自己记忆的方便。当然也可以不旋转向量，而使用旋转坐标系的方法推导，两种方法是等价的。

    公式的输入我使用了这篇博客http://blog.csdn.net/linraise/article/details/11712937给出的方法。还有一个小技巧，就是可以双击公式，在最上面的工具栏“图片”选项里直接修改公式的内容。

参考：

1、《学习OpenCV》

2、公式输入：http://blog.csdn.net/linraise/article/details/11712937

3、在线编辑公式：http://private.codecogs.com/latex/eqneditor.php