UESTCOJ759 倒推数组

题目

题解

先假设一个数列是单调递增数列 $a_0,a_1,a_2,...,a_{n-2},a_{n-1}.$ 我们按照公式 $f(a)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{n}min(a_i,a_j).$ 计算出 $f(a)$ 的值（在草稿纸上写几项看看取哪些项，比如第一项取$a_0,$后面$n$个第二项都比它小，所以取$n$个$a_0$；第一项取后面时，都有一个$a_0$要取一次，这里共$n-1$次，加起来$2n-1$次，其他系数同理可得）如下：
$$f(a)=(2n-1)a_0+(2n-3)a_1+(2n-5)a_2+...+3a_{n-2}+1a_{n-1}.$$

因为答案是取字典序最小的一组，所以我们令$a_0=1,a_1=2,...,a_{n-2}=n-1,a_{n-1}=?$
毕竟我们将这个数组理想化为从最小开始单调递增的，所以很有可能$f(a)$求和结果是达不到$F$的，故我们先不考虑最后一项$a_{n-1}$，设$f(a)$前面$(n-1)$项求和结果是$sum$,而$a_{n-1}\ge n$，如果让$sum+n\ge F$，则找不到最后一项$last$，使得$sum+last==F.$如果$sum+n\le F$，则说明这个理想化的数组按题意公式求和确实不够，那么就让$last=F-sum$.这样输出的前$(n-1)$项就满足字典序最小，第$n$项$last$可以使得$f(a)==F.$

代码

#include
using namespace std;
int main(){
    int T;
    cin>>T;
    while (T--){
        int n,F;
        cin>>n>>F;
        int sum=0;
        for(int i=n;i>1;i--){
            sum=sum+(2*i-1)*(n-i+1);
        }
        int last;
        if(sum+n>F) cout<<"-1"<<endl;
        else{
            last=F-sum;
            for(int i=1;i<n;i++){
            	cout<<i<<" ";
			}        
            cout<<last<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

样例输出

2
2 10
1 7
2 2
-1

,