罗德里格斯（Rodrigues）旋转方程推导

罗德里格斯旋转方程是从角度和向量计算出相应的旋转矩阵，这个旋转方程在很多方面有重要的应用，这里简要概述一下方程的推导过程。

主要参考资料是维基百科，其实基本上就是翻译一下，自己走一遍这个推导过程，这里把链接贴出来。

维基百科-罗德里格斯方程

推导过程：

整个推导过程都是围绕上面的图片开展的，进行向量推导。

首先，定义向量k是旋转轴的单位矢量，向量v是绕向量k旋转角度θ的任意向量（旋转方向遵循右手定则，图中逆时针）。

使用点乘和叉乘，向量v可以分解成与轴k平行和垂直的分量，

                                               （1-1）

与k平行的分量是

                                               （1-2）

向量v在k上的向量投影，垂直于k的分量为

     （1-3）

矢量k×v可以看作是v⊥绕k逆时针旋转90°的副本，所以它们的大小相等，但是方向是垂直的。同样，向量k×（k×v）是v⊥绕k逆时针旋转180°的副本，使得k×（k×v）和v⊥的大小相等，但方向相反（因此符号相反）。

矢量三重叉积链接了平行分量和垂直分量，参考公式为a×（b×c）=（a·c）b - （a·b）c ，对于给定任意三个向量a，b，c。

平行于轴的分量在旋转时不会改变幅度和方向，

                              （1-4）

根据以上分析，垂直分量在旋转时会改变方向，但保持其大小

                   （1-5）

并且由于k和v_||是平行的，所以它们的叉积是零  k×v_|| = 0，因此

   （1-6）

因此

            （1-7）

这种旋转是正确的，因为矢量v⊥和k×v具有相同的长度，并且k×v是v⊥围绕k逆时针旋转90°。使用三角函数正弦和余弦对v⊥和k×v进行适当乘积可以得到旋转的垂直分量。旋转分量的形式类似于笛卡尔基的2D平面极坐标（r，θ）中的径向向量

            (1-8)

其中ex，ey是它们指示方向上的单位向量。

现在完整的旋转矢量是

                       (1-9)

用上述结果中的v ||rot和v⊥rot的定义代替

                (1-10)

矩阵表示:

将v和k×v表示为列矩阵，叉积可以表示为矩阵乘积

(1-11)

令矩阵K表示单位向量k的“叉积矩阵"

                                       (1-12)

矩阵方程可以表示为

                                             (1-13)

对于任何向量v（实际上，矩阵K是具有特征值0和±i）。

迭代右边的叉乘相当于乘以左边的叉积矩阵，如下

                         (1-14)

而且，由于k是单位向量，所以k具有单位2-范数。 因此旋转公式（1-10）可以表示为

                 (1-15)

补充一下推导过程：（1-10）到（1-15）都点跨度比较大，其实中间经过了下面一个步骤，

再根据矢量三重叉积就可以获得（1-15）。

将v用紧凑表达式表达

                                                                            (1-16)

最后获得罗德里格斯旋转方程：

                                  （1-17）